Seja r a reta que passa pelos pontos A(1,-5,2) e B(-1,2,-3),
Verifique se os pontos P(-5,16,-13) e Q(5,-19,12) pertencem à reta r.

Passo 1

O enunciado dá a reta r que passa por A(1,-5,2) e B(-1,2,-3), e pede para verificar se os pontos P(-5,16,-13) e Q(5,-19,12) também estão em r.
Conteúdo: representação paramétrica de reta em R^3 e teste de colinearidade via parâmetros.

Passo 2

Calculemos o vetor direção de r e a forma paramétrica.
O vetor direção é
vec d = AB = B - A = (-1-1,;2-(-5),;-3-2) = (-2,,7,,-5)
Logo, uma forma equivalente de r é
x = 1 - 2t, y = -5 + 7t, z = 2 - 5t,
com tinR.

Passo 3

Verificação de P(-5,16,-13).
Pela primeira coordenada temos
1 - 2t = -5 Longrightarrow -2t = -6 Longrightarrow t = 3
Substituindo t=3 nas outras duas:
y = -5 + 7cdot 3 = -5 + 21 = 16, z = 2 - 5cdot 3 = 2 - 15 = -13
As três coordenadas batem com P, logo Pin r.

Passo 4

Verificação de Q(5,-19,12).
Pela primeira coordenada temos
1 - 2t = 5 Longrightarrow -2t = 4 Longrightarrow t = -2
Substituindo t=-2 nas outras duas:
y = -5 + 7cdot(-2) = -5 - 14 = -19, z = 2 - 5cdot(-2) = 2 + 10 = 12
Também há concordância, logo Qin r.

Resposta

Ambos os pontos P e Q pertencem à reta r.

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