Nos problemas abaixo, identifique a cônica conforme a equação dada. Depois, determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade. Esboce o gráfico.
4x^2+9y^2-24x+18y+9=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação:
4x^2+9y^2-24x+18y+9=0
Precisamos identificar a cônica, achar o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboçar o gráfico. O conteúdo é geometria analítica de cônicas e usaremos completamento de quadrados.

Passo 2

Agrupando termos em x e em y e completando quadrados:
4l(x^2-6xr)+9l(y^2+2yr)+9=0
Como
x^2-6x=(x-3)^2-9, y^2+2y=(y+1)^2-1,
temos
4l((x-3)^2-9r)+9l((y+1)^2-1r)+9=0 ;Longrightarrow; 4(x-3)^2+9(y+1)^2-36=0 ;Longrightarrow; 4(x-3)^2+9(y+1)^2=36
Dividindo por 36:
(x-3)^29+(y+1)^24=1

Passo 3

A forma
(x-h)^2a^2+(y-k)^2b^2=1
com a^2=9 e b^2=4 indica uma elipse. O centro é (h,k)=(3,-1). Como a^2>b^2, o eixo maior é horizontal e
a=raiz9=3, b=raiz4=2

Passo 4

Os vértices (do eixo maior) estão a uma distância a do centro no sentido horizontal:
(3pm3,,-1);Longrightarrow;(6,-1) e (0,-1)
Os extremos do eixo menor (co-vértices) são
(3,,-1pm2);Longrightarrow;(3,1) e (3,-3)

Passo 5

Para os focos calculamos
c^2=a^2-b^2=9-4=5, c=raiz5
Eles ficam no eixo maior:
(3pmraiz5,,-1)
A excentricidade é
e=ca=raiz53

Passo 6

O esboço mostra uma elipse centrada em (3,-1), com eixo maior de comprimento 2a=6 indo de x=0 a x=6 e eixo menor de comprimento 2b=4 indo de y=-3 a y=1, com focos em (3pmraiz5,-1).

Resposta

  • Cônica: elipse.
  • Centro: (3,-1).
  • Vértices: (0,-1) e (6,-1).
  • Focos: l(3-raiz5,-1r) e l(3+raiz5,-1r).
  • Excentricidade: raiz53.
  • Esboço: elipse com eixos horizontais de 6 unidades e verticais de 4 unidades centrada em (3,-1).

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