Nos problemas abaixo, identifique a cônica conforme a equação dada. Depois, determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação:
Precisamos identificar a cônica, achar o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboçar o gráfico. O conteúdo é geometria analítica de cônicas e usaremos completamento de quadrados.
Passo 2
Agrupando termos em
e em
e completando quadrados:
Como
temos
Dividindo por
:
Passo 3
A forma
com
e
indica uma elipse. O centro é
. Como
, o eixo maior é horizontal e
Passo 4
Os vértices (do eixo maior) estão a uma distância
do centro no sentido horizontal:
Os extremos do eixo menor (co-vértices) são
Passo 5
Para os focos calculamos
Eles ficam no eixo maior:
A excentricidade é
Passo 6
O esboço mostra uma elipse centrada em
, com eixo maior de comprimento
indo de
a
e eixo menor de comprimento
indo de
a
, com focos em
.
Resposta
- Cônica: elipse.
- Centro:
. - Vértices:
e . - Focos:
e . - Excentricidade:
. - Esboço: elipse com eixos horizontais de 6 unidades e verticais de 4 unidades centrada em
.