Estabelecer o conjunto imagem da funçāo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar o conjunto imagem da função
. Isso significa descobrir todos os possíveis valores que
pode assumir quando a gente varia o
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções quadráticas, que são aquelas que têm
elevado ao quadrado. Vamos lá?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem o formato geral
. No nosso caso,
,
e
. O gráfico dessa função é uma parábola. Como o coeficiente
é positivo (2), a parábola abre para cima. Isso significa que a função tem um valor mínimo, mas não tem um valor máximo – ela vai até o infinito.
Passo 3
Para encontrar o valor mínimo da função, precisamos achar o vértice da parábola. A fórmula para encontrar o
do vértice é
. Substituindo os valores que temos:
Então, o valor de
no vértice é
.
Passo 4
Agora que sabemos onde está o vértice, vamos encontrar o valor mínimo da função, que é
. Vamos substituir esse valor de
na função:
Calculando isso passo a passo:
Então, o valor mínimo da função é
.
Passo 5
Com isso, já sabemos que o menor valor que
pode ter é
e, como a parábola abre para cima,
pode ir até o infinito. Portanto, o conjunto imagem é todos os valores maiores ou iguais a
.
Resposta
O conjunto imagem da função
é
.