Estabelecer o conjunto imagem da funçāo f(x)=2 x^2+5 x+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar o conjunto imagem da função f(x) = 2x^2 + 5x + 3 . Isso significa descobrir todos os possíveis valores que f(x) pode assumir quando a gente varia o x . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções quadráticas, que são aquelas que têm x elevado ao quadrado. Vamos lá?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem o formato geral f(x) = ax^2 + bx + c . No nosso caso, a = 2 , b = 5 e c = 3 . O gráfico dessa função é uma parábola. Como o coeficiente a é positivo (2), a parábola abre para cima. Isso significa que a função tem um valor mínimo, mas não tem um valor máximo – ela vai até o infinito.

Passo 3

Para encontrar o valor mínimo da função, precisamos achar o vértice da parábola. A fórmula para encontrar o x do vértice é x = -b2a . Substituindo os valores que temos:
x = -52 times 2 = -54
Então, o valor de x no vértice é -54 .

Passo 4

Agora que sabemos onde está o vértice, vamos encontrar o valor mínimo da função, que é f(-54) . Vamos substituir esse valor de x na função:
f(-54) = 2(-54)^2 + 5(-54) + 3
Calculando isso passo a passo:
2 times (2516) = 5016 = 258
5 times (-54) = -254
258 - 254 + 3 = 258 - 508 + 248 = -18
Então, o valor mínimo da função é -18 .

Passo 5

Com isso, já sabemos que o menor valor que f(x) pode ter é -18 e, como a parábola abre para cima, f(x) pode ir até o infinito. Portanto, o conjunto imagem é todos os valores maiores ou iguais a -18 .

Resposta

O conjunto imagem da função f(x) = 2x^2 + 5x + 3 é [, -18, +infty, ).

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