Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade(assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados)
f(x)=\frac{x^{2}}{2}, x \geqslant 0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2}{2}, & x\ge0,\\\\ 0, & x<0 \end{cases}
é uma função densidade de probabilidade. Para isso, precisamos checar duas condições:
  1. f(x)\ge0 para todo x.
  2. \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1.

Passo 2

Verificação da não-negatividade: como x^2\ge0 para todo x, temos
f(x)=\frac{x^2}{2}\ge0\quad\text{para }x\ge0,
e f(x)=0 para x<0. Portanto, a condição f(x)\ge0 está satisfeita.

Passo 3

Verificação da normalização:
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{0}^{\infty}\frac{x^2}{2}\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}x^2\,dx =\frac{1}{2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{\infty} =\frac{1}{2}\cdot\infty =\infty\neq1.
Assim, a integral não converge para 1.

Resposta

A função não é densidade de probabilidade, pois sua integral sobre \mathbb{R} diverge e não se iguala a 1.

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