Uma estação espacial circular, com o raio de 5,10 km, está a grande distância de qualquer estrea. A velocidade de rotação da estação é controlável. E a gravidade artificial na nave pode ser variada entre certos limites. Qual deve ser a velocidade angular de rotação para que na parte mais periférica da nave a gravidade seja de 9,8 m / s^2 ?

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Temos uma estação espacial circular com raio de 5,10 , km (ou seja, 5100 , m). A estação pode controlar sua velocidade de rotação para gerar gravidade artificial. Queremos descobrir qual deve ser a velocidade angular de rotação ( omega) para que na parte mais externa da estação a gravidade artificial seja igual à gravidade da Terra, que é 9,8 , m/s^2.
Conteúdo da Matéria:
  • Movimento circular uniforme
  • Aceleração centrípeta
  • Relação entre velocidade angular e aceleração
Vamos precisar usar a fórmula da aceleração centrípeta que relaciona a velocidade angular com o raio da trajetória.

Passo 2

Entendendo a Aceleração Centrípeta
Quando um objeto se move em um círculo, ele experimenta uma aceleração que direciona para o centro do círculo, chamada de aceleração centrípeta ( ac). Essa aceleração pode ser calculada pela fórmula:
ac = omega^2 cdot r
Onde:
  • ac é a aceleração centrípeta,
  • omega é a velocidade angular,
  • r é o raio do círculo.
Na estação espacial, a aceleração centrípeta que sentimos na parte periférica é o que chamamos de gravidade artificial.

Passo 3

Isolando a Velocidade Angular ( omega)
Queremos encontrar omega tal que ac = 9,8 , m/s^2. Rearranjando a fórmula para isolar omega:
omega^2 = acr
omega = raizacr

Passo 4

Substituindo os Valores Conhecidos
Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula:
ac = 9,8 , m/s^2
r = 5100 , m
omega = raiz9,85100 approx raiz0,0019215686 approx 0,04382 , rad/s

Passo 5

Convertendo para Unidades Mais Intuitivas (se necessário)
Caso queira, podemos converter omega para rotações por minuto (rpm) para ter uma ideia melhor da velocidade:
rpm = omega times 602pi approx 0,04382 times 606,2832 approx 0,418 , rpm

Resposta

A velocidade angular de rotação da estação deve ser aproximadamente 0,0438 , rad/s, o que equivale a cerca de 0,418 , rpm, para que a gravidade artificial na parte mais periférica seja de 9,8 , m/s^2.

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