Numa estação de esqui, água a 4,5^{\circ} \mathrm{C} e proveniente de um lago situado a uma altitude de 1306 m , é bombeada para uma máquina de fazer neve, situada numa altitude de 1409 m , através de um tubo de aço que apresenta diâmetro e comprimento iguais a 76,2 \mathrm{~mm} e 609,6 \mathrm{~m}. Sabendo que a vazão de água é 0,0073 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} e que é necessário manter a pressão de 5,5 bar na seção de alimentação da máquina de gelo, determine a potência transferida a água pela bomba.

Passo 1

O problema trata de bombear água de um lago a 4,5^\circ\mathrm{C} situado a 1306,m de altitude até uma máquina de fazer neve a 1409,m, usando um tubo de aço de diâmetro interno D = 76{,}2,mm e comprimento L = 609{,}6,m. A vazão volumétrica é Q = 0,0073, m^{3}/s e na saída queremos manter P_{\mathrm{saída}} = 5{,}5í,bar.
Conteúdo envolvido: equação de energia de Bernoulli com bomba, conversão de pressão em “carga de pressão”, cálculo de carga de elevação e perdas de carga por atrito (fórmula de Darcy–Weisbach).

Passo 2

Calcular velocidade média v e número de Reynolds para estimar o fator de atrito f.
A área da seção é
A = \frac{\pi D^2}{4}
Logo
v = \frac{Q}{A} \quad\text{e}\quad \mathrm{Re} = \frac{D\,v}{\nu},
com \nu\approx1{,}52\times10^{-6}, m^{2}/s para água a 4{,}5^\circ\mathrm{C}.
Substituindo D = 0{,}0762,m e Q=0,0073, m^{3}/s obtém-se
A = \frac{\pi\,(0{,}0762)^2}{4}\approx0{,}00456\\ \mathrm{m^2}, \qquad v = \frac{0,0073}{0,00456}\approx1{,}60\\ \mathrm{m/s},
\mathrm{Re} = \frac{0{,}0762\cdot1{,}60}{1{,}52\times10^{-6}}\approx8,0\times10^{4}.
Para \mathrm{Re}\sim8\times10^4 e rugosidade relativa típica \varepsilon/D\approx6,0\times10^{-4}, usamos a fórmula de Swamee–Jain para f:
f = \frac{0{,}25}{\bigl[\log_{10}\bigl(\tfrac{\varepsilon}{3{,}7D} + \tfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0,9}}\bigr)\bigr]^2} \approx0{,}0214.

Passo 3

Calcular a perda de carga por atrito h_f usando Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L\,v^2}{2\,g\,D}.
Com L=609{,}6,m, v=1{,}60,m/s, D=0{,}0762,m e g=9{,}81,m/ s^{2}, obtemos
h_f \approx0{,}0214\;\frac{609{,}6\,(1{,}60)^2}{2\cdot9{,}81\cdot0{,}0762} \approx22{,}4\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Converter a diferença de pressão desejada em “carga de pressão” h_P e a elevação \Delta z em “carga de elevação”:
\Delta z = 1409 - 1306 = 103\\ \mathrm{m}, \qquad h_P = \frac{P_{\mathrm{saída}} - P_{\mathrm{lago}}}{\rho\,g}.í
Assumindo P_{\mathrm{lago}}\approx1,bar e P_{\mathrm{saída}}=5{,}5í,bar, a pressão líquida a vencer é 4{,}5,bar =4{,}5\times10^5,Pa. Com \rho\approx1000,kg/ m^{3},
h_P = \frac{4{,}5\times10^5}{1000\cdot9{,}81}\approx45{,}9\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Somar todas as cabeças para obter a cabeça total H que a bomba deve gerar e calcular a potência transferida à água:
H = \Delta z + h_f + h_P =103 + 22{,}4 + 45{,}9 \approx171{,}3\\ \mathrm{m}.
A potência hidráulica é
P = \rho\,g\,Q\,H.
Substituindo \rho=1000,kg/ m^{3}, g=9,81,m/ s^{2}, Q=0,0073, m^{3}/s e H=171{,}3,m,
P \approx1000\cdot9{,}81\cdot0{,}0073\cdot171{,}3 \approx1{,}23\times10^4\\ \mathrm{W}.

Resposta

A potência transferida à água pela bomba é aproximadamente 1,23\times10^4,W (ou 12,3,kW).

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