Uma queda de pressão de 700 kPa é medida ao longo de um duto horizontal de ferro forjado, de 10 cm de diâmetro e 300 m de comprimento, que transporta óleo ( \mathrm{S}=0,9 e viscosidade cinemática = 10-5 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ). Calcule a vazão.

Passo 1

O enunciado dá uma queda de pressão de \Delta p=700\times10^3 Pa ao longo de um duto horizontal de ferro forjado de diâmetro interno D=0,10 m e comprimento L=300 m, transportando óleo com peso específico S=0,9 (logo densidade \rho=S\rho_{\rm água}=0,9\cdot1000=900á kg/ m^{3}) e viscosidade cinemática \nu=1\times10^{-5} m^{2}/s.
O objetivo é encontrar a vazão volumétrica Q. Para isso usaremos a equação de Darcy–Weisbach
\Delta p \;=\; f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho V^2}{2}
onde V é a velocidade média e f o fator de atrito. Depois calculamos
Q = V\,A\quad\text{com}\quad A = \frac{\pi D^2}{4}.
O fator f em escoamento turbulento em tubos rugosos será determinado pela fórmula de Swamee–Jain (aproximação explícita da Colebrook–White).

Passo 2

Calculamos a área da seção transversal do tubo e a densidade do óleo:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi(0,10)^2}{4}\approx7,854\times10^{-3}\text{ m}^2, \qquad \rho = 900\text{ kg/m}^3.

Passo 3

Vamos usar a expressão de Swamee–Jain para tubos rugosos de rugosidade absoluta típica \varepsilon=0,26 mm (ferro fundido):
f \;=\; 0{,}25\biggl[\log_{10}\!\Bigl(\frac{\varepsilon/D}{3,7} + \frac{5,74}{\Re^{0,9}}\Bigr)\biggr]^{-2},
\Re = \frac{V\,D}{\nu}, \quad V = \sqrt{\frac{2\,\Delta p\,D}{f\,\rho\,L}}.
Iteramos começando em f_0=0{,}03:
  1. Com f_0=0{,}03 achamos \displaystyle V_1=\sqrt{\frac{2\cdot700\times10^3\cdot0,10}{0{,}03\cdot900\cdot300}}\approx4,16 m/s
    e \Re_1=4,16\cdot0,10/10^{-5}\approx4,16\times10^4.
  2. Calculamos \varepsilon/D=0,00026/0,10=0,0026, \Re_1^{0,9}\approx1{,}438\times10^4,
f_1 = 0{,}25\Bigl[\log_{10}(0,0026/3,7 + 5,74/1{,}438\times10^4)\Bigr]^{-2} \approx0{,}0286.
  1. Repetindo até convergir, obtemos
f\approx0{,}0285, \qquad V\approx4,26\text{ m/s}.

Passo 4

Com V=4,26 m/s, a vazão volumétrica é
Q = V\,A = 4,26\times7,854\times10^{-3}\approx3,34\times10^{-2}\text{ m}^3/\text{s}.
Em unidades mais usuais,
Q = 0,0334\text{ m}^3/\text{s}\approx120{,}2\text{ m}^3/\text{h}.

Resposta

A vazão volumétrica é aproximadamente
\boxed{Q=0,0334\text{ m}^3/\text{s}\quad(\approx120{,}2\text{ m}^3/\text{h}).}

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