Se a vazão através de um duto de ferro forjado de 10 cm de diâmetro for de 0,04 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, calcule a diferença na elevação H dos dois reservatórios, considerando apenas as perdas devido ao comprimento do tubo. O comprimento total da tubulação é de 10 metros.

Passo 1

O enunciado dá uma vazão \,Q=0,04\\ \mathrm{m^3/s} num tubo de ferro de diâmetro \,D=0,10\\ \mathrm{m} e comprimento \,L=10\\ \mathrm{m}. Queremos a diferença de elevação H entre reservatórios, que equivale à perda de carga por atrito. Usaremos a equação de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}
Precisamos então de (1) área e velocidade média V, (2) número de Reynolds para ver o regime, (3) fator de atrito f, e por fim (4) h_f.

Passo 2

Calculamos a área da seção e a velocidade média:
A = \frac{\pi D^2}{4} \quad,\quad V = \frac{Q}{A}.
Substituindo D=0,10\\ \mathrm{m}:
A = \frac{\pi\,(0,10)^2}{4} \approx 7{,}854\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}, \quad V = \frac{0,04}{7{,}854\times10^{-3}} \approx 5{,}09\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Determinamos o número de Reynolds para água (viscosidade cinemática \nu=1\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}):
\mathrm{Re} = \frac{V\,D}{\nu} = \frac{5{,}09\cdot0,10}{1\times10^{-6}} \approx 5{,}09\times10^5,
o que indica escoamento turbulento.

Passo 4

Para tubo de ferro forjado usamos rugosidade absoluta \epsilon\approx0,26\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. No regime turbulento, aplicamos a fórmula de Swamee–Jain para f:
f = 0,25 \biggl[\log_{10}\!\Bigl(\frac{\epsilon}{3,7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0,9}}\Bigr)\biggr]^{-2}.
Calculando cada termo:
\frac{\epsilon}{3,7D} = \frac{0,26\times10^{-3}}{3,7\cdot0,10}\approx7,03\times10^{-4}, \quad \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0,9}}\approx4,2\times10^{-5},
\log_{10}(\dots)\approx\log_{10}(7,45\times10^{-4})\approx-3,13 \quad\Rightarrow\quad f\approx0,25/(-3,13)^2\approx0,026.

Passo 5

Finalmente, a perda de carga é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g} =0,026\cdot\frac{10}{0,10}\cdot\frac{(5,09)^2}{2\cdot9,81} \approx3,38\\ \mathrm{m}.
Portanto, a diferença de elevação H necessária para vencer o atrito é igual a essa perda de carga.

Resposta

A diferença de elevação é aproximadamente 3,4\\ \mathrm{m}.

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