A estação de tratamento de águas de uma cidade ribeirinha lança efluente tratado em um rio que corta a cidade. Logo após a mistura completa analistas da agência reguladora encontraram uma demanda última de oxigênio do efluente misturado de 0,5 \mathrm{~g} / \mathrm{L}, um coeficiente de desoxigenação de 0,27 \mathrm{~d}^{-1}, um coeficiente de reaeração de 0,48 \mathrm{~d}^{-1}, o oxigênio dissolvido de 6,8 \mathrm{ppm}, uma concentração de saturação no trecho ( 20^{\circ} \mathrm{C} ) de 8,2 \mathrm{mg} / \mathrm{L} e uma velocidade média do escoamento de 15 \mathrm{~m} / \mathrm{min}.
a) Calcule o déficit de oxigênio após o tempo de 0,5 dia e de 1 dia.
b) Qual será o OD nesses instantes?

Passo 1

O enunciado trata da qualidade de água num rio após a descarga de efluente, usando o modelo de Streeter–Phelps para o déficit de oxigênio. Temos após mistura completa:
– Demanda bioquímica última L_0 = 0,5\\ \mathrm{g/L}
– Coeficiente de desoxigenação k_d = 0,27\\ \mathrm{d}^{-1}
– Coeficiente de reaeração k_r = 0,48\\ \mathrm{d}^{-1}
– Oxigênio dissolvido inicial DO_0 = 6,8\\ \mathrm{mg/L}
– Concentração de saturação C_s = 8,2\\ \mathrm{mg/L}
Queremos (a) o déficit de oxigênio D(t) em t=0{,}5 d e t=1 d, e (b) o OD (ou DO) nesses instantes. Vamos usar a fórmula
D(t)=\frac{k_d\,L_0}{k_r - k_d}\Bigl(e^{-k_d t}-e^{-k_r t}\Bigr)+D_0\,e^{-k_r t},
em que D_0=C_s-DO_0.

Passo 2

Calculamos o déficit inicial e convertemos unidades de L_0:
L_0=0{,}5\\ \mathrm{g/L}=500\\ \mathrm{mg/L},\qquad D_0=C_s-DO_0=8{,}2-6{,}8=1{,}4\\ \mathrm{mg/L}.
O fator constante fica
\frac{k_d\,L_0}{k_r - k_d} =\frac{0{,}27\times500}{0{,}48-0{,}27} =\frac{135}{0{,}21}\approx642{,}86\\ \mathrm{mg/L}.

Passo 3

Substituímos na fórmula de Streeter–Phelps:
D(t)=642{,}86\Bigl(e^{-0{,}27t}-e^{-0{,}48t}\Bigr)+1{,}4\,e^{-0{,}48t}.

Passo 4

Para t=0{,}5\\ \mathrm{d}:
e^{-0{,}27\cdot0{,}5}=e^{-0{,}135}\approx0{,}8739,\quad e^{-0{,}48\cdot0{,}5}=e^{-0{,}24}\approx0{,}7866.
Logo
D(0{,}5)=642{,}86\,(0{,}8739-0{,}7866)+1{,}4\cdot0{,}7866 \approx642{,}86\cdot0{,}0873+1{,}1013 \approx56{,}16+1{,}10 \approx57{,}26\\ \mathrm{mg/L}.

Passo 5

Para t=1\\ \mathrm{d}:
e^{-0{,}27\cdot1}=e^{-0{,}27}\approx0{,}7630,\quad e^{-0{,}48\cdot1}=e^{-0{,}48}\approx0{,}6190.
Logo
D(1)=642{,}86\,(0{,}7630-0{,}6190)+1{,}4\cdot0{,}6190 \approx642{,}86\cdot0{,}1440+0{,}8666 \approx92{,}57+0{,}87 \approx93{,}44\\ \mathrm{mg/L}.

Passo 6

O oxigênio dissolvido é DO(t)=C_s-D(t). Assim,
DO(0{,}5)=8{,}2-57{,}26\approx-49{,}06\\ \mathrm{mg/L},
DO(1)=8{,}2-93{,}44\approx-85{,}24\\ \mathrm{mg/L}.

Resposta

(a) D(0{,}5\\ \mathrm{d})\approx57{,}3\\ \mathrm{mg/L},\quad D(1\\ \mathrm{d})\approx93{,}4\\ \mathrm{mg/L}.
(b) DO(0{,}5\\ \mathrm{d})\approx-49{,}1\\ \mathrm{mg/L},\quad DO(1\\ \mathrm{d})\approx-85{,}2\\ \mathrm{mg/L}.

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