A interpretação de análises de laboratório de uma amostra de água de um rio à jusante de um lançamento de esgotos mostrou um coeficiente de desoxigenação de 0,27 \mathrm{~d}^{-1} (a 20^{\circ} \mathrm{C} ); uma demanda última de oxigênio de 120 \mathrm{mg} / \mathrm{L} e uma temperatura de 23,8^{\circ} \mathrm{C}.
Calcular a DBO à 1,5,10,15 e 20 dias.

Passo 1

O enunciado dá um coeficiente de desoxigenação de \,k_{20}=0,27\;\mathrm{d}^{-1} a 20^\circ\mathrm{C}, uma demanda última de oxigênio \,L_0=120\;\mathrm{mg/L} e pede a DBO após 1, 5, 10, 15 e 20 dias a 23{,}8^\circ\mathrm{C}. O modelo é de cinética de primeira ordem, com correção de temperatura.

Passo 2

A correção de temperatura usa o fator \theta (tipicamente \theta=1,047) e calcula
\Delta T = 23{,}8 - 20 = 3{,}8\;(^\circ\mathrm{C}),
k_T = k_{20}\,\theta^{\Delta T}.

Passo 3

Calculando numericamente
\theta^{3,8} = 1,047^{3,8} \approx e^{3,8\ln(1,047)} \approx e^{0,1745} \approx 1,1907,
k_T = 0,27 \times 1,1907 \approx 0,3215\;\mathrm{d}^{-1}.

Passo 4

O modelo de BOD de primeira ordem dá a DBO acumulada até o tempo t como
\mathrm{DBO}(t) \;=\; L_0\bigl(1 - e^{-\,k_T\,t}\bigr).

Passo 5

Substituindo L_0=120\;\mathrm{mg/L} e k_T=0,3215\;\mathrm{d}^{-1}:
\mathrm{DBO}(1) = 120\bigl(1 - e^{-0,3215\times1}\bigr)\approx 120\,(1-0,7248)\approx 33,0\;\mathrm{mg/L},
\mathrm{DBO}(5) = 120\bigl(1 - e^{-0,3215\times5}\bigr)\approx 120\,(1-0,2000)\approx 96,0\;\mathrm{mg/L},
\mathrm{DBO}(10)= 120\bigl(1 - e^{-0,3215\times10}\bigr)\approx 120\,(1-0,0401)\approx 115,2\;\mathrm{mg/L},
\mathrm{DBO}(15)= 120\bigl(1 - e^{-0,3215\times15}\bigr)\approx 120\,(1-0,0080)\approx 119,0\;\mathrm{mg/L},
\mathrm{DBO}(20)= 120\bigl(1 - e^{-0,3215\times20}\bigr)\approx 120\,(1-0,0016)\approx 119,8\;\mathrm{mg/L}.

Resposta

Para t=1,5,10,15,20 dias, a DBO (mg/L) é aproximadamente:
DBO(1) =33,0
DBO(5) =96,0
DBO(10) =115,2
DBO(15) =119,0
DBO(20) =119,8

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