Uma indústria de fármacos, lança um efluente indevidamente em um córrego próximo a suas instalações. No processo de fiscalização, notou-se que o efluente apresentou um coeficiente de desoxigenação de 0,35 \mathrm{~d}^{-1}, demanda última 0,90 \mathrm{~g} / \mathrm{L}, velocidade do escoamento de 0,25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, déficit inicial de oxigênio de 15 ppm , concentração de saturação de 0,022 \mathrm{~g} / \mathrm{L} e coeficiente de reaeração de 0,55 \mathrm{~d}^{-1}.
a) Calcule o déficit de oxigênio nos tempos analisadas ( 0, 5 ; 1 ; 5 ; 10 ; 15 e 20 dias).

Passo 1

O problema trata da evolução do déficit de oxigênio D(t) num córrego após o lançamento de um efluente. O conteúdo é o modelo de Streeter–Phelps, em que a demanda bioquímica de oxigênio (DBO) decai exponencialmente e há reaeração do córrego. Precisamos usar a equação diferencial
\frac{dD}{dt} \;=\; k_d\,L(t)\;-\;k_r\,D(t)
com L(t)=L_0 e^{-k_d t}, onde
k_d=0,35\\ \mathrm d^{-1} é o coeficiente de desoxigenação,
k_r=0,55\\ \mathrm d^{-1} é o coeficiente de reaeração,
L_0=0{,}90\\ \mathrm{mg/L} é a demanda última,
D(0)=15\\ \mathrm{mg/L} é o déficit inicial.
Queremos D(t) em t=0{,}5,\;1,\;5,\;10,\;15,\;20 dias.

Passo 2

Escrevendo a ODE com L(t)=L_0e^{-k_d t}:
\frac{dD}{dt} + k_r D = k_d\,L_0 e^{-k_d t}.
Usamos fator integrante e^{k_r t} para resolver:
\frac{d}{dt}\bigl(D e^{k_r t}\bigr) = k_d L_0\,e^{(k_r-k_d)t}.

Passo 3

Integrando de 0 a t e impondo D(0)=D_0 resulta
D(t)e^{k_r t}-D_0 = k_d L_0\int_0^t e^{(k_r-k_d)\tau}\,d\tau = \frac{k_d L_0}{k_r-k_d}\bigl(e^{(k_r-k_d)t}-1\bigr).
Isolando D(t) obtém‐se a fórmula fechada
D(t) = D_0\,e^{-k_r t} + \frac{k_d L_0}{k_r - k_d}\Bigl(e^{-k_d t}-e^{-k_r t}\Bigr).

Passo 4

Substituindo os valores numéricos em \mathrm{mg/L}:
D_0=15,\quad L_0=0{,}90,\quad k_d=0{,}35,\quad k_r=0{,}55,
o coeficiente fica
\frac{k_d L_0}{k_r-k_d} =\frac{0{,}35\times0{,}90}{0{,}55-0{,}35} =\frac{0{,}315}{0{,}20} =1{,}575\\ \mathrm{mg/L}.
Logo
D(t)=15\,e^{-0{,}55\,t}+1{,}575\bigl(e^{-0{,}35\,t}-e^{-0{,}55\,t}\bigr).

Passo 5

Calculamos primeiro para t=0{,}5 e t=1 dia:
e^{-0{,}55\times0{,}5}=0{,}758,\quad e^{-0{,}35\times0{,}5}=0{,}839,
D(0{,}5) =15\cdot0{,}758+1{,}575\,(0{,}839-0{,}758) =11{,}37+0{,}128\approx11{,}50\\ \mathrm{mg/L},
e^{-0{,}55\times1}=0{,}577,\quad e^{-0{,}35\times1}=0{,}705,
D(1) =15\cdot0{,}577+1{,}575\,(0{,}705-0{,}577) =8{,}66+0{,}202\approx8{,}86\\ \mathrm{mg/L}.

Passo 6

Agora para t=5 e t=10 dias:
e^{-0{,}55\times5}=0{,}063,\quad e^{-0{,}35\times5}=0{,}174,
D(5) =15\cdot0{,}063+1{,}575\,(0{,}174-0{,}063) =0{,}945+0{,}175\approx1{,}12\\ \mathrm{mg/L},
e^{-0{,}55\times10}=0{,}0041,\quad e^{-0{,}35\times10}=0{,}0302,
D(10) =15\cdot0{,}0041+1{,}575\,(0{,}0302-0{,}0041) =0{,}0615+0{,}0411\approx0{,}10\\ \mathrm{mg/L}.

Passo 7

Finalmente para t=15 e t=20 dias:
e^{-0{,}55\times15}=0{,}00026,\quad e^{-0{,}35\times15}=0{,}0053,
D(15) =15\cdot0{,}00026+1{,}575\,(0{,}0053-0{,}00026) =0{,}0039+0{,}0079\approx0{,}012\\ \mathrm{mg/L},
e^{-0{,}55\times20}=1{,}67\times10^{-5},\quad e^{-0{,}35\times20}=0{,}00091,
D(20) =15\cdot1{,}67\times10^{-5}+1{,}575\,(0{,}00091-1{,}67\times10^{-5}) \approx0{,}00025+0{,}00141\approx0{,}0017\\ \mathrm{mg/L}.

Resposta

Em \mathrm{mg/L}: D(0{,}5)=11{,}50, D(1)=8{,}86, D(5)=1{,}12, D(10)=0{,}10, D(15)=0{,}012, D(20)=0{,}0017.

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