Uma indústria de fármacos, lança um efluente indevidamente em um córrego próximo a suas instalações. No processo de fiscalização, notou-se que o efluente apresentou um coeficiente de desoxigenação de
, demanda última
, velocidade do escoamento de
, déficit inicial de oxigênio de 15 ppm , concentração de saturação de
e coeficiente de reaeração de
.
a) Calcule o déficit de oxigênio nos tempos analisadas ( 0,
e 20 dias).
a) Calcule o déficit de oxigênio nos tempos analisadas ( 0,
Passo 1
O problema trata da evolução do déficit de oxigênio
num córrego após o lançamento de um efluente. O conteúdo é o modelo de Streeter–Phelps, em que a demanda bioquímica de oxigênio (DBO) decai exponencialmente e há reaeração do córrego. Precisamos usar a equação diferencial
com
, onde
– é o coeficiente de desoxigenação,
– é o coeficiente de reaeração,
– é a demanda última,
– é o déficit inicial.
Queremos em
dias.
–
–
–
–
Queremos
Passo 2
Escrevendo a ODE com
:
Usamos fator integrante
para resolver:
Passo 3
Integrando de
a
e impondo
resulta
Isolando
obtém‐se a fórmula fechada
Passo 4
Substituindo os valores numéricos em
:
o coeficiente fica
Logo
Passo 5
Calculamos primeiro para
e
dia:
Passo 6
Agora para
e
dias:
Passo 7
Finalmente para
e
dias:
Resposta
Em
:
,
,
,
,
,
.