A estação de tratamento de águas de uma cidade ribeirinha lança efluente tratado em um rio que corta a cidade. Logo após a mistura completa analistas da agência reguladora encontraram uma demanda última de oxigênio do efluente misturado de 0,5 \mathrm{~g} / \mathrm{L}, um coeficiente de desoxigenação de 0,27 \mathrm{~d}^{-1}, um coeficiente de reaeração de 0,48 \mathrm{~d}^{-1}, o oxigênio dissolvido de 6,8 \mathrm{ppm}, uma concentração de saturação no trecho ( 20^{\circ} \mathrm{C} ) de 8,2 \mathrm{mg} / \mathrm{L} e uma velocidade média do escoamento de 15 \mathrm{~m} / \mathrm{min}.
a) Calcule o déficit de oxigênio após o tempo de 0,5 dia e de 1 dia.
b) Qual será o OD nesses instantes?
c) A que distância do lançamento isso ocorre?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados logo após a mistura completa no rio:
– Demanda última de oxigênio L_0 = 0{,}5 g/L (vamos interpretá-la em miligramas por litro, ou seja L_0 = 0{,}5 mg/L, para ficar coerente com os demais termos em mg/L).
– Coeficiente de desoxigenação K_d = 0{,}27\\ \mathrm d^{-1}.
– Coeficiente de reaeração K_r = 0{,}48\\ \mathrm d^{-1}.
– Oxigênio dissolvido inicial \mathrm{DO}(0)=6{,}8 mg/L (pois 1 ppm \approx 1 mg/L em água).
– Concentração de saturação C_s = 8{,}2 mg/L.
– Velocidade média de escoamento v = 15 m/min.
O que se pede:
a) Déficit de oxigênio D(t)=C_s-\mathrm{DO}(t) nos instantes t=0{,}5 dia e t=1 dia.
b) Concentração de oxigênio dissolvido \mathrm{DO}(t) nesses instantes.
c) Distância do ponto de lançamento correspondente a t=0{,}5 dia e a t=1 dia.

Passo 2

Usamos a fórmula de Streeter–Phelps para o déficit de oxigênio:
D(t)=\frac{K_d\,L_0}{K_r-K_d}\bigl(e^{-K_d t}-e^{-K_r t}\bigr)+D(0)\,e^{-K_r t},
onde \;D(0)=C_s-\mathrm{DO}(0)=8{,}2-6{,}8=1{,}4,mg/L
e calculamos o termo
A=\frac{K_d\,L_0}{K_r-K_d} =\frac{0{,}27\times0{,}5}{0{,}48-0{,}27} =\frac{0{,}135}{0{,}21} \approx0{,}6429\\ \mathrm{mg/L}.

Passo 3

Cálculo de D(t):
Para t=0{,}5 dia:
e^{-K_d t}=e^{-0{,}27\times0{,}5}\approx0{,}8739, \quad e^{-K_r t}=e^{-0{,}48\times0{,}5}\approx0{,}7866,
D(0{,}5)=0{,}6429\bigl(0{,}8739-0{,}7866\bigr)+1{,}4\times0{,}7866 \approx0{,}6429\times0{,}0873+1{,}1012 \approx1{,}1573\\ \mathrm{mg/L}.
Para t=1 dia:
e^{-K_d t}=e^{-0{,}27\times1}\approx0{,}7634, \quad e^{-K_r t}=e^{-0{,}48\times1}\approx0{,}6190,
D(1)=0{,}6429\bigl(0{,}7634-0{,}6190\bigr)+1{,}4\times0{,}6190 \approx0{,}6429\times0{,}1444+0{,}8666 \approx0{,}9594\\ \mathrm{mg/L}.

Passo 4

A concentração de oxigênio dissolvido é
\mathrm{DO}(t)=C_s - D(t).
Logo,
\mathrm{DO}(0{,}5)=8{,}2 - 1{,}1573\approx7{,}0427\\ \mathrm{mg/L},
\mathrm{DO}(1)=8{,}2 - 0{,}9594\approx7{,}2406\\ \mathrm{mg/L}.

Passo 5

Distância percorrida em t dias com v=15 m/min:
1440\\ \mathrm{min/dia}\times v = 1440\times15 =21600\\ \mathrm{m/dia}.
Para t=0{,}5 dia:
21600\times0{,}5=10800\\ \mathrm{m}.
Para t=1 dia:
21600\times1=21600\\ \mathrm{m}.

Resposta

a) Déficit de oxigênio: \displaystyle D(0{,}5)\approx1{,}16 mg/L, \displaystyle D(1)\approx0{,}96 mg/L.
b) Oxigênio dissolvido: \displaystyle \mathrm{DO}(0{,}5)\approx7{,}04 mg/L, \displaystyle \mathrm{DO}(1)\approx7{,}24 mg/L.
c) Distâncias:
aprox. 10{,}8 km para t=0{,}5 dia e 21{,}6 km para t=1 dia.

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