A interpretação de análises de laboratório de uma amostra de água de um rio à jusante de um lançamento de esgotos mostrou um coeficiente de desoxigenação de 0,27 \mathrm{~d}^{-1} (a 20^{\circ} \mathrm{C} ); uma demanda última de oxigênio de 120 \mathrm{mg} / \mathrm{L} e uma temperatura de 23,8^{\circ} \mathrm{C}.
a) Calcular a DBO à 1,5,10,15 e 20 dias.
b) Por porcentagem simples, calcule a fração de DBO remanescente e a consumida.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de água com demanda bioquímica de oxigênio última L_0 = 120, \mathrm{mg/L} e coeficiente de desoxigenação a 20^\circ\mathrm{C} igual a k_{20}=0,27, \mathrm{d}^{-1}. A temperatura real é T=23,8^\circ\mathrm{C}. Precisamos calcular (a) a DBO remanescente nos instantes t=1,5,10,15,20 dias e (b) as porcentagens remanescente e consumida.

Passo 2

Ajustamos o coeficiente de desoxigenação para a temperatura real usando o fator de temperatura \theta=1,047:
k_T = k_{20}\,\theta^{\,T-20}
Substituindo:
k_T = 0,27 \times 1,047^{\,3,8} \approx 0,27 \times 1,191 \approx 0,322\\ \mathrm{d}^{-1}

Passo 3

A DBO remanescente L(t) segue a lei de decaimento exponencial:
L(t) = L_0 \,e^{-\,k_T\,t}
Calculando para cada t:
t =1 dia:
L(1) = 120\,e^{-0,322\times1}\approx 120\times0,725 = 86{,}97\\ \mathrm{mg/L}
t =5 dias:
L(5) = 120\,e^{-0,322\times5}\approx 120\times0,1998 = 23{,}98\\ \mathrm{mg/L}
t =10 dias:
L(10) = 120\,e^{-0,322\times10}\approx 120\times0,0401 = 4{,}81\\ \mathrm{mg/L}
t =15 dias:
L(15) = 120\,e^{-0,322\times15}\approx 120\times0,0080 = 0{,}96\\ \mathrm{mg/L}
t =20 dias:
L(20) = 120\,e^{-0,322\times20}\approx 120\times0,0016 = 0{,}19\\ \mathrm{mg/L}

Passo 4

A fração remanescente em \% é
\frac{L(t)}{L_0}\times100\%,
e a consumida é 100\% - fração remanescente. Calculando:
t =1 dia: remanescente =86{,}97/120\times100\%\approx72{,}5\%, consumida =27{,}5\%.
t =5 dias: remanescente =23{,}98/120\times100\%\approx20{,}0\%, consumida =80{,}0\%.
t =10 dias: remanescente =4{,}81/120\times100\%\approx4{,}0\%, consumida =96{,}0\%.
t =15 dias: remanescente =0{,}96/120\times100\%\approx0{,}8\%, consumida =99{,}2\%.
t =20 dias: remanescente =0{,}19/120\times100\%\approx0{,}16\%, consumida =99{,}84\%.

Resposta

(a) DBO remanescente:
1 dia: 86{,}97, \mathrm{mg/L}
5 dias: 23{,}98, \mathrm{mg/L}
10 dias: 4{,}81, \mathrm{mg/L}
15 dias: 0{,}96, \mathrm{mg/L}
20 dias: 0{,}19, \mathrm{mg/L} (b) Frações remanescente/consumida:
1 dia: 72{,}5\% / 27{,}5\%
5 dias: 20{,}0\% / 80{,}0\%
10 dias: 4{,}0\% / 96{,}0\%
15 dias: 0{,}8\% / 99{,}2\%
20 dias: 0{,}16\% / 99{,}84\%

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