Uma fábrica de polímeros utilizados na produção de diversos materiais plásticos, apresenta um efluente com os seguintes dados: coeficiente de desoxigenação de 0,42 \mathrm{~d}^{-} { }^{1}, demanda última de DBO de 0,2 \mathrm{ppb} e velocidade do escoamento de 800 \mathrm{~m} / \mathrm{d}.
a) Calcule a DBO remanescente em tempos de 0, 5 ; 1,5 ; 10 ; 15 e 20 dias
b) Calcule as frações remanescente (%) e consumida (%) em cada tempo.
c) Calcule o L nos pontos da jusante em \mathrm{x}=100,500,1000,2000,5000 e 10000 metros.

Passo 1

O enunciado trata da decaimento de demanda bioquímica de oxigênio (DBO) segundo cinética de primeira ordem, ou seja,
L(t)=L_{0}\,e^{-k\,t}
onde L_{0}=0{,}2\mathrm{~ppb} é a DBO última inicial, k=0{,}42\mathrm{~d}^{-1} é o coeficiente de desoxigenação,
e t é o tempo em dias. Além disso, para deslocamento no rio usa-se t=x/u, com u=800\mathrm{~m/d}. Vamos:
– no Passo 2 calcular L(t) nos tempos pedidos;
– no Passo 3 obter as frações remanescente e consumida;
– no Passo 4 achar L a jusante em função de x.

Passo 2

Calcular L(t)=0{,}2\,e^{-0,42\,t} nos tempos t=0{,}5,\;1{,}5,\;10,\;15,\;20 dias:
Para t=0{,}5:
L(0{,}5)=0{,}2\,e^{-0,42\cdot0{,}5} =0{,}2\,e^{-0,21} \approx0{,}2\times0{,}810=0{,}162\mathrm{~ppb}.
Para t=1{,}5:
L(1{,}5)=0{,}2\,e^{-0,42\cdot1{,}5} =0{,}2\,e^{-0,63} \approx0{,}2\times0{,}534=0{,}107\mathrm{~ppb}.
Para t=10:
L(10)=0{,}2\,e^{-0,42\cdot10} =0{,}2\,e^{-4,2} \approx0{,}2\times0{,}0150=0{,}0030\mathrm{~ppb}.
Para t=15:
L(15)=0{,}2\,e^{-0,42\cdot15} =0{,}2\,e^{-6,3} \approx0{,}2\times0{,}00183=0{,}00037\mathrm{~ppb}.
Para t=20:
L(20)=0{,}2\,e^{-0,42\cdot20} =0{,}2\,e^{-8,4} \approx0{,}2\times0{,}000224=0{,}0000448\mathrm{~ppb}.

Passo 3

Calcular a fração remanescente f_{R}(t)=\tfrac{L(t)}{L_{0}} e consumida f_{C}(t)=1-f_{R}(t), em %:
Para t=0{,}5:
f_{R}=0{,}162/0{,}2=0{,}81\to81\%,\quad f_{C}=19\%.
Para t=1{,}5:
f_{R}=0{,}107/0{,}2=0{,}534\to53{,}4\%,\quad f_{C}=46{,}6\%.
Para t=10:
f_{R}=0{,}0030/0{,}2=0{,}015\to1{,}5\%,\quad f_{C}=98{,}5\%.
Para t=15:
f_{R}=0{,}00037/0{,}2=0{,}00183\to0{,}183\%,\quad f_{C}=99{,}817\%.
Para t=20:
f_{R}=0{,}0000448/0{,}2=0{,}000224\to0{,}0224\%,\quad f_{C}=99{,}9776\%.

Passo 4

Em jusante, t=x/u. Logo
L(x)=0{,}2\,\exp\!\bigl(-0,42\,\tfrac{x}{800}\bigr).
Para x=100\mathrm{~m}, t=0{,}125\mathrm{~d}:
L=0{,}2\,e^{-0,42\cdot0{,}125} \approx0{,}2\times e^{-0,0525} \approx0{,}2\times0{,}9488=0{,}1898\mathrm{~ppb}.
Para x=500\mathrm{~m}, t=0{,}625\mathrm{~d}:
L\approx0{,}2\,e^{-0,2625} \approx0{,}2\times0{,}7693=0{,}1539\mathrm{~ppb}.
Para x=1000\mathrm{~m}, t=1{,}25\mathrm{~d}:
L\approx0{,}2\,e^{-0,525} \approx0{,}2\times0{,}5920=0{,}1184\mathrm{~ppb}.
Para x=2000\mathrm{~m}, t=2{,}5\mathrm{~d}:
L\approx0{,}2\,e^{-1,05} \approx0{,}2\times0{,}3500=0{,}0700\mathrm{~ppb}.
Para x=5000\mathrm{~m}, t=6{,}25\mathrm{~d}:
L\approx0{,}2\,e^{-2,625} \approx0{,}2\times0{,}0726=0{,}0145\mathrm{~ppb}.
Para x=10000\mathrm{~m}, t=12{,}5\mathrm{~d}:
L\approx0{,}2\,e^{-5,25} \approx0{,}2\times0{,}00526=0{,}00105\mathrm{~ppb}.

Resposta

a) L(0{,}5)=0{,}162, L(1{,}5)=0{,}107, L(10)=0{,}0030, L(15)=0{,}00037, L(20)=0{,}0000448 \mathrm{~ppb}.
b)
Em %:
t =0,5 d \to f_{R}=81\%,\,f_{C}=19\%
t =1,5 d \to f_{R}=53{,}4\%,\,f_{C}=46{,}6\%
t =10 d \to f_{R}=1{,}5\%,\,f_{C}=98{,}5\%
t =15 d \to f_{R}=0{,}183\%,\,f_{C}=99{,}817\%
t =20 d \to f_{R}=0{,}0224\%,\,f_{C}=99{,}9776\%
c)
Em jusante:
x =100 m \to L=0{,}1898\mathrm{~ppb}
x =500 m \to L=0{,}1539\mathrm{~ppb}
x =1000 m \to L=0{,}1184\mathrm{~ppb}
x =2000 m \to L=0{,}0700\mathrm{~ppb}
x =5000 m \to L=0{,}0145\mathrm{~ppb}
x =10000 m \to L=0{,}00105\mathrm{~ppb}

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