Uma indústria de fármacos, lança um efluente indevidamente em um córrego próximo a suas instalações. No processo de fiscalização, notou-se que o efluente apresentou um coeficiente de desoxigenação de 0,35 \mathrm{~d}^{-1}, demanda última 0,90 \mathrm{~g} / \mathrm{L}, velocidade do escoamento de 0,25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, déficit inicial de oxigênio de 15 ppm , concentração de saturação de 0,022 \mathrm{~g} / \mathrm{L} e coeficiente de reaeração de 0,55 \mathrm{~d}^{-1}.
a) Calcule o déficit de oxigênio nos tempos analisadas ( 0, 5 ; 1 ; 5 ; 10 ; 15 e 20 dias).
b) Calcule a concentração de oxigênio nos mesmos tempos.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados para um córrego poluído por um efluente farmacêutico: coeficiente de desoxigenação k_d=0,35\\ \mathrm{d}^{-1}, demanda última L_0=0,90\\ \mathrm{g/L}, coeficiente de reaeração k_r=0,55\\ \mathrm{d}^{-1}, déficit inicial de oxigênio D_0=15\\ \mathrm{ppm}=0,015\\ \mathrm{g/L} e concentração de saturação S_{\mathrm{sat}}=0,022\\ \mathrm{g/L}.
O que precisamos é aplicar o modelo de Streeter–Phelps para obter o déficit de oxigênio D(t) e daí a concentração de oxigênio S(t)=S_{\mathrm{sat}}-D(t) nos tempos dados.

Passo 2

O modelo de Streeter–Phelps parte das equações diferenciais
\frac{dL}{dt}=-k_d\,L
\frac{dD}{dt}=k_d\,L - k_r\,D
onde L(t) é a demanda bioquímica remanescente e D(t) o déficit de oxigênio.

Passo 3

Integramos a primeira equação para obter
L(t)=L_0\,e^{-k_d t}
e substituímos na segunda, cuja solução geral (com condição inicial D(0)=D_0) é
D(t) =\frac{k_d\,L_0}{\,k_r - k_d\,}\Bigl(e^{-k_d t}-e^{-k_r t}\Bigr) + D_0\,e^{-k_r t}\,.

Passo 4

Substituindo k_d=0,35, k_r=0,55 e L_0=0,90 em g/L, calculamos a constante
A=\frac{k_d\,L_0}{k_r-k_d} =\frac{0,35\cdot0,90}{0,55-0,35} =\frac{0,315}{0,20} =1,575\\ \mathrm{g/L}\,.
Logo
D(t) =1{,}575\bigl(e^{-0{,}35\,t}-e^{-0{,}55\,t}\bigr) +0{,}015\,e^{-0{,}55\,t}\,.

Passo 5

Agora avaliamos D(t) nos tempos t=0{,}5;\;1;\;5;\;10;\;15;\;20 dias e, em seguida,
S(t)=S_{\mathrm{sat}}-D(t)\quad\bigl(S_{\mathrm{sat}}=0{,}022\\ \mathrm{g/L}\bigr).
Os resultados em g/L são:
t =0,5 dias:
D(0{,}5)=1{,}575\bigl(e^{-0{,}175}-e^{-0{,}275}\bigr)+0{,}015\,e^{-0{,}275} =0{,}137\\ \mathrm{g/L}, \quad S(0{,}5)=0{,}022-0{,}137=-0{,}115\\ \mathrm{g/L}.
t =1 dia:
D(1)=1{,}575\bigl(e^{-0{,}35}-e^{-0{,}55}\bigr)+0{,}015\,e^{-0{,}55} =0{,}2098\\ \mathrm{g/L}, \quad S(1)=0{,}022-0{,}2098=-0{,}1878\\ \mathrm{g/L}.
t =5 dias:
D(5)=1{,}575\bigl(e^{-1{,}75}-e^{-2{,}75}\bigr)+0{,}015\,e^{-2{,}75} =0{,}1752\\ \mathrm{g/L}, \quad S(5)=0{,}022-0{,}1752=-0{,}1532\\ \mathrm{g/L}.
t =10 dias:
D(10)=1{,}575\bigl(e^{-3{,}5}-e^{-5{,}5}\bigr)+0{,}015\,e^{-5{,}5} =0{,}0412\\ \mathrm{g/L}, \quad S(10)=0{,}022-0{,}0412=-0{,}0192\\ \mathrm{g/L}.
t =15 dias:
D(15)=1{,}575\bigl(e^{-5{,}25}-e^{-8{,}25}\bigr)+0{,}015\,e^{-8{,}25} =0{,}00794\\ \mathrm{g/L}, \quad S(15)=0{,}022-0{,}00794=0{,}01406\\ \mathrm{g/L}.
t =20 dias:
D(20)=1{,}575\bigl(e^{-7}-e^{-11}\bigr)+0{,}015\,e^{-11} =0{,}001407\\ \mathrm{g/L}, \quad S(20)=0{,}022-0{,}001407=0{,}020593\\ \mathrm{g/L}.

Resposta

Déficit de oxigênio D(t) em g/L e concentração de oxigênio S(t) em g/L:
t =0,5 d: D=0{,}137, S=-0{,}115
t =1 d: D=0{,}2098, S=-0{,}1878
t =5 d: D=0{,}1752, S=-0{,}1532
t =10 d: D=0{,}0412, S=-0{,}0192
t =15 d: D=0{,}00794, S=0{,}01406
t =20 d: D=0{,}001407, S=0{,}020593

Exercícios relacionados