No estado fundamental de um átomo de hidrogênio, de acordo com a teoria de Bohr, qual é
a velocidade angular?

Passo 1

O enunciado pergunta: no estado fundamental (nível n=1) de um átomo de hidrogênio, segundo a teoria de Bohr, qual é a velocidade angular?
Informações relevantes dadas ou necessárias: n=1 (estado fundamental), átomo de hidrogênio (elétron de massa m_e e carga e orbitando um próton), e que devemos usar as hipóteses da teoria de Bohr (órbitas circulares quantizadas). Vou usar as constantes físicas padrão: massa do elétron m_e, carga do elétron e, constante dielétrica do vácuo \varepsilon_0, e a constante de Planck reduzida \hbar. Nada mais é pedido.

Passo 2

O que é a velocidade angular?
A velocidade angular \omega de movimento circular é definida como a razão entre a velocidade tangencial v e o raio da órbita r:
\omega=\frac{v}{r}.
Portanto, se na teoria de Bohr conseguimos v e r para o estado n=1, obtemos \omega por essa fórmula.

Passo 3

Equilíbrio de forças (força centrípeta = força elétrica) — escrevendo a equação física e explicando cada termo:
Para um elétron descrevendo uma órbita circular de raio r, a força centrípeta é \dfrac{m v^{2}}{r}. A força elétrica de atração entre próton e elétron (lei de Coulomb) é
F_{\text{el}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^{2}}{r^{2}}.
Igualando forças (centrípeta = elétrica) temos:
\frac{m v^{2}}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^{2}}{r^{2}}.
Aqui m é a massa do elétron, v sua velocidade tangencial, r o raio da órbita, e a carga elementar e \varepsilon_0 a permissividade do vácuo.

Passo 4

Condição de quantização de Bohr — explicando o que significa:
Bohr propôs que o momento angular do elétron é quantizado:
m v r = n\hbar,
onde n é um inteiro positivo (número quântico principal) e \hbar é a constante de Planck reduzida. No estado fundamental temos n=1. Essa condição serve para determinar órbitas permitidas.

Passo 5

Determinar o raio r_n a partir das duas equações anteriores — passo a passo algébrico:
Da equação de quantização isolamos v:
v=\frac{n\hbar}{m r}.
Substituímos em \dfrac{m v^{2}}{r}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^{2}}{r^{2}}:
\frac{m}{r}\left(\frac{n\hbar}{m r}\right)^{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^{2}}{r^{2}}.
Simplificando:
\frac{n^{2}\hbar^{2}}{m r^{3}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^{2}}{r^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por r^{3} e isolando r:
r=\frac{4\pi\varepsilon_0\, n^{2}\hbar^{2}}{m e^{2}}.
Esse é o raio da n-ésima órbita. Para n=1 obtemos o raio de Bohr a_{0}:
r_{1}=a_{0}=\frac{4\pi\varepsilon_0\, \hbar^{2}}{m e^{2}}.

Passo 6

Determinar a velocidade tangencial v_n explicitamente — álgebra direta:
A partir da condição de quantização m v r = n\hbar podemos escrever
v=\frac{n\hbar}{m r}.
Substituindo a expressão de r encontrada no passo anterior:
v_{n}=\frac{n\hbar}{m}\cdot\frac{m e^{2}}{4\pi\varepsilon_0\, n^{2}\hbar^{2}} =\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^{2}}{\hbar}.
Definindo k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, fica
v_{n}=\frac{k e^{2}}{n\hbar}.
Para n=1:
v_{1}=\frac{k e^{2}}{\hbar}.

Passo 7

Calcular a velocidade angular \omega_n em termos das constantes — simplificação algébrica:
Usamos \omega_n=\dfrac{v_n}{r_n}. Substituindo v_n e r_n:
\omega_n=\frac{\dfrac{k e^{2}}{n\hbar}}{\dfrac{n^{2}\hbar^{2}}{m k e^{2}}} =\frac{m k^{2} e^{4}}{n^{3}\hbar^{3}}.
Reescrevendo em termos de \varepsilon_0 (já que k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}):
\omega_n=\frac{m e^{4}}{16\pi^{2}\varepsilon_{0}^{2}\, n^{3}\hbar^{3}}.
Para o estado fundamental n=1 obtemos a expressão fechada:
\omega_{1}=\frac{m e^{4}}{16\pi^{2}\varepsilon_{0}^{2}\hbar^{3}}.

Passo 8

Interpretação alternativa usando a constante fina \alpha (opcional, para intuição) — relação mais compacta:
A constante de estrutura fina é \alpha=\dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}. Usando-a podemos escrever
v_{1}=\alpha c,\qquad r_{1}=\frac{\hbar}{m\alpha c},
e então
\omega_{1}=\frac{v_{1}}{r_{1}}=\frac{m\alpha^{2} c^{2}}{\hbar}.
Isso dá a mesma ordem de grandeza e mostra que \omega_{1} é grande porque c^{2} aparece multiplicado por fatores pequenos, mas com m/\hbar grande.

Passo 9

Cálculo numérico final usando valores das constantes (mostrando as constantes usadas):
Usarei os valores padrão:
m_{e}=9{,}10938356\times10^{-31}\,\mathrm{kg},\quad e=1{,}602176634\times10^{-19}\,\mathrm{C},
\varepsilon_{0}=8{,}8541878128\times10^{-12}\,\mathrm{F\!/m},\quad \hbar=1{,}054571817\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}.
Substituindo em qualquer uma das fórmulas (por exemplo \omega_{1}=m k^{2} e^{4}/\hbar^{3} com k=1/(4\pi\varepsilon_0)) obtemos numericamente
\omega_{1}\approx 4{,}13\times10^{16}\,\mathrm{s^{-1}}.
Isso significa que o elétron “gira” na órbita de Bohr com uma velocidade angular da ordem de 10^{16} rad/s — muito alta, o que é compatível com a pequena dimensão do átomo e a velocidade do elétron de ordem 10^{6}\,\mathrm{m/s}.

Resposta

\displaystyle \omega_{1}=\frac{m_{e}}{\,\hbar^{3}\,}\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\right)^{\!2}e^{4} \approx 4{,}13\times10^{16}\,\mathrm{s^{-1}}

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