No estado fundamental de um átomo de hidrogênio, de acordo com a teoria de Bohr, qual é
a velocidade angular?
a velocidade angular?
Passo 1
O enunciado pergunta: no estado fundamental (nível
) de um átomo de hidrogênio, segundo a teoria de Bohr, qual é a velocidade angular?
Informações relevantes dadas ou necessárias: (estado fundamental), átomo de hidrogênio (elétron de massa
e carga
orbitando um próton), e que devemos usar as hipóteses da teoria de Bohr (órbitas circulares quantizadas). Vou usar as constantes físicas padrão: massa do elétron
, carga do elétron
, constante dielétrica do vácuo
, e a constante de Planck reduzida
. Nada mais é pedido.
Informações relevantes dadas ou necessárias:
Passo 2
O que é a velocidade angular?
A velocidade angular de movimento circular é definida como a razão entre a velocidade tangencial
e o raio da órbita
:
A velocidade angular
Portanto, se na teoria de Bohr conseguimos
e
para o estado
, obtemos
por essa fórmula.
Passo 3
Equilíbrio de forças (força centrípeta = força elétrica) — escrevendo a equação física e explicando cada termo:
Para um elétron descrevendo uma órbita circular de raio , a força centrípeta é
. A força elétrica de atração entre próton e elétron (lei de Coulomb) é
Para um elétron descrevendo uma órbita circular de raio
Igualando forças (centrípeta = elétrica) temos:
Aqui
é a massa do elétron,
sua velocidade tangencial,
o raio da órbita,
a carga elementar e
a permissividade do vácuo.
Passo 4
Condição de quantização de Bohr — explicando o que significa:
Bohr propôs que o momento angular do elétron é quantizado:
Bohr propôs que o momento angular do elétron é quantizado:
onde
é um inteiro positivo (número quântico principal) e
é a constante de Planck reduzida. No estado fundamental temos
. Essa condição serve para determinar órbitas permitidas.
Passo 5
Determinar o raio
a partir das duas equações anteriores — passo a passo algébrico:
Da equação de quantização isolamos :
Da equação de quantização isolamos
Substituímos em
:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
e isolando
:
Esse é o raio da
-ésima órbita. Para
obtemos o raio de Bohr
:
Passo 6
Determinar a velocidade tangencial
explicitamente — álgebra direta:
A partir da condição de quantização podemos escrever
A partir da condição de quantização
Substituindo a expressão de
encontrada no passo anterior:
Definindo
, fica
Para
:
Passo 7
Calcular a velocidade angular
em termos das constantes — simplificação algébrica:
Usamos . Substituindo
e
:
Usamos
Reescrevendo em termos de
(já que
):
Para o estado fundamental
obtemos a expressão fechada:
Passo 8
Interpretação alternativa usando a constante fina
(opcional, para intuição) — relação mais compacta:
A constante de estrutura fina é . Usando-a podemos escrever
A constante de estrutura fina é
e então
Isso dá a mesma ordem de grandeza e mostra que
é grande porque
aparece multiplicado por fatores pequenos, mas com
grande.
Passo 9
Cálculo numérico final usando valores das constantes (mostrando as constantes usadas):
Usarei os valores padrão:
Usarei os valores padrão:
Substituindo em qualquer uma das fórmulas (por exemplo
com
) obtemos numericamente
Isso significa que o elétron “gira” na órbita de Bohr com uma velocidade angular da ordem de
rad/s — muito alta, o que é compatível com a pequena dimensão do átomo e a velocidade do elétron de ordem
.