O estado inicial de uma partícula de massa m, confinada no intervalo 0, em um campo conservativo, é dado por
Psi(x, 0)=A sin (pi xa) e^-i E t / hbar
onde E é a energia.
(a) Classifique este estado como estacionário ou não estacionário;
(b) Normalize este estado;
© Represente graficamente a densidade de probabilidade de presença da partícula e determine a probabilidade de encontrar a partícula entre x=0 e x=a / 2,
(d) Determine os valorer médios da posição e momentum;
(e) Determine a relação de incerteza entre posição e momentum.

Passo 1

Beleza, vamos desenrolar essa questão de Mecânica Quântica sobre uma partícula presa numa “caixinha” (poço infinito) no intervalo 0<x<a. O enunciado pede cinco coisas:
(a) dizer se o estado é estacionário ou não;
(b) achar a normalização (constante A);
© desenhar a densidade de probabilidade |Ψ|² e calcular a chance de encontrar a partícula em 0<x<a/2;
(d) achar os valores médios ⟨x⟩ e ⟨p⟩;
(e) calcular a relação de incerteza Δx·Δp.
Para isso, vamos usar:
  • Conceito de estados estacionários e dependência de tempo tipo .
  • Condição de normalização .
  • Definição de probabilidade .
  • Fórmulas de valor médio , .
  • Relações para variâncias , .

Passo 2

Primeiro ponto: o estado dado é
Psi(x,t)=Asin!l(tfracpi xar),e^-iEt/hbar
Repara que todo o tempo aparece só no fator . Isso é a cara de estado estacionário: a densidade não muda no tempo, já que . Logo, é um estado estacionário.

Passo 3

Agora normalizar integral0^a|Psi|^2,dx =integral0^a A^2sin^2!l(tfracpi xar),dx=1 . A condição é
A^2; a2=1 Longrightarrow A=raiz2a
Sabendo que , temos

Passo 4

A densidade de probabilidade é
|Psi(x,t)|^2 =A^2sin^2!l(tfracpi xar) =2a,sin^2!l(tfracpi xar)
O gráfico é aquele “seno ao quadrado” subindo de zero em P[0,a/2] =integral0^a/22asin^2!l(tfracpi xar),dx =2a,a4 =12 até o máximo em e caindo de novo até zero em .
Para achar a chance de a partícula estar entre 0 e :

Passo 5

Valor médio da posição:
lang<= xrang<= =integral0^a Psi^*,x,Psi,dx =2aintegral0^a xsin^2!l(tfracpi xar),dx =a2
Valor médio do momento:
lang<= prang<= =-ihbarintegral0^aPsi^*dPsidx,dx
Para um estado real em espaço (a parte espacial é real) e dependência de tempo só por fase, dá zero. Então
.

Passo 6

Incertezas:
Δx² = ⟨x²⟩ – ⟨x⟩², com
lang<= x^2rang<= =2aintegral0^a x^2sin^2!l(tfracpi xar),dx = a^2l(tfrac13-tfrac12pi^2r),
logo
De
Para Δp² usamos ⟨p⟩=0 e ⟨p²⟩ = 2mE, mas no poço infinito De, então
Assim

Resposta

(a) É um estado estacionário.
(b) .
© . Gráfico “seno ao quadrado” entre 0 e a. A probabilidade em é 1/2.
(d) , .
(e)

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