O estado inicial de uma partícula de massa
, confinada no intervalo
, em um campo conservativo, é dado por
onde
é a energia.
(a) Classifique este estado como estacionário ou não estacionário;
(b) Normalize este estado;
© Represente graficamente a densidade de probabilidade de presença da partícula e determine a probabilidade de encontrar a partícula entre
,
(d) Determine os valorer médios da posição e momentum;
(e) Determine a relação de incerteza entre posição e momentum.
(a) Classifique este estado como estacionário ou não estacionário;
(b) Normalize este estado;
© Represente graficamente a densidade de probabilidade de presença da partícula e determine a probabilidade de encontrar a partícula entre
(d) Determine os valorer médios da posição e momentum;
(e) Determine a relação de incerteza entre posição e momentum.
Passo 1
Beleza, vamos desenrolar essa questão de Mecânica Quântica sobre uma partícula presa numa “caixinha” (poço infinito) no intervalo 0<x<a. O enunciado pede cinco coisas:
(a) dizer se o estado é estacionário ou não;
(b) achar a normalização (constante A);
© desenhar a densidade de probabilidade |Ψ|² e calcular a chance de encontrar a partícula em 0<x<a/2;
(d) achar os valores médios ⟨x⟩ e ⟨p⟩;
(e) calcular a relação de incerteza Δx·Δp.
Para isso, vamos usar:
(a) dizer se o estado é estacionário ou não;
(b) achar a normalização (constante A);
© desenhar a densidade de probabilidade |Ψ|² e calcular a chance de encontrar a partícula em 0<x<a/2;
(d) achar os valores médios ⟨x⟩ e ⟨p⟩;
(e) calcular a relação de incerteza Δx·Δp.
Para isso, vamos usar:
- Conceito de estados estacionários e dependência de tempo tipo
. - Condição de normalização
. - Definição de probabilidade
. - Fórmulas de valor médio
, . - Relações para variâncias
, .
Passo 2
Primeiro ponto: o estado dado é
Repara que todo o tempo aparece só no fator
. Isso é a cara de estado estacionário: a densidade
não muda no tempo, já que
. Logo, é um estado estacionário.
Passo 3
Agora normalizar
integral0^a|Psi|^2,dx =integral0^a A^2sin^2!l(tfracpi xar),dx=1 . A condição é
Sabendo que
, temos
Passo 4
A densidade de probabilidade é
O gráfico é aquele “seno ao quadrado” subindo de zero em
P[0,a/2] =integral0^a/22asin^2!l(tfracpi xar),dx =2a,a4 =12 até o máximo em
e caindo de novo até zero em
.
Para achar a chance de a partícula estar entre 0 e :
Para achar a chance de a partícula estar entre 0 e
Passo 5
Valor médio da posição:
Valor médio do momento:
Para um estado real em espaço (a parte espacial
é real) e dependência de tempo só por fase, dá zero. Então
.
Passo 6
Incertezas:
Δx² = ⟨x²⟩ – ⟨x⟩², com
Δx² = ⟨x²⟩ – ⟨x⟩², com
logo
Para Δp² usamos ⟨p⟩=0 e ⟨p²⟩ = 2mE, mas no poço infinito
De , então
Assim
Resposta
(a) É um estado estacionário.
(b) .
© . Gráfico “seno ao quadrado” entre 0 e a. A probabilidade em
é 1/2.
(d) ,
.
(e)
(b)
©
(d)
(e)