Estalo em teste dois processos para fechar latas de comestiveis. Em uma sequència de 1.000 latas, o processo 1 gera 50 rejeiçôes, enquanto o processo 2 acusa 200 rejeiçües. Podemos, no nivel de 0,05 , concluir que os dois processos sejam diferentes?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois processos usados para fechar latas de comestíveis:
  • Processo 1: Fez 1.000 latas e rejeitou 50.
  • Processo 2: Fez 1.000 latas e rejeitou 200.
Queremos saber se, com um nível de significância de 0,05 (ou 5%), podemos concluir que esses dois processos realmente têm taxas de rejeição diferentes.
Para resolver isso, vamos usar um teste de hipótese para comparar duas proporções. Isso nos ajuda a verificar se a diferença observada nas taxas de rejeção é estatisticamente significativa ou se pode ter ocorrido por acaso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas hipóteses:
  • Hipótese Nula ( H0): As taxas de rejeição dos dois processos são iguais. Ou seja, $ p_1 = p_2 $.
  • Hipótese Alternativa ( p1 = p2 ): As taxas de rejeição dos dois processos são diferentes. Ou seja, $ p_1 \neq p_2 $.
Aqui, $ p_1 $ é a proporção de rejeições no Processo 1 e $ p_2 $ é a proporção no Processo 2.

Passo 3

Agora, vamos calcular as proporções observadas:
  • Para o Processo 1: p1 = 501000 = 0,05
  • Para o Processo 2: p2 = 2001000 = 0,20
Essas são as nossas proporções amostrais de rejeição.

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular a proporção combinada ($ \hat{p} $) sob a hipótese nula, que assume que $ p_1 = p_2 $. Essa proporção é calculada da seguinte forma:
p çõ

Passo 5

Com a proporção combinada, vamos calcular o erro padrão ($ SE $) para a diferença entre as duas proporções:
SE

Passo 6

Agora, calculamos o valor do teste $ z $ usando a diferença entre as proporções observadas e a proporção combinada:
z

Passo 7

Determinar o valor crítico para um teste bilateral com nível de significância de 0,05. Usando a tabela z, o valor crítico é aproximadamente ±1,96.

Passo 8

Comparar o valor calculado de $ z $ com o valor crítico:
z
Como o valor de $ z $ está além do valor crítico na direção negativa, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com um nível de significância de 5%, podemos concluir que as taxas de rejeição dos dois processos são estatisticamente diferentes.

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