Em uma pesquisa sobre possuidores de videocassete, encontram-se 120 das 200 casas pesquisadas do bairro X e 240 das 500 residéncias do bairro Y. Há diferença significativa entre a proporção de possuidores de video nos dols balrros? Usar alpha=10 %.

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse problema juntos! A questão pede para verificarmos se há uma diferença significativa na proporção de casas que possuem videocassete entre os bairros X e Y. Para isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente o teste de diferença de proporções. Precisaremos calcular as proporções de cada bairro, a diferença entre elas e verificar se essa diferença é estatisticamente significativa usando um nível de significância de 10%.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as proporções de casas que possuem videocassete em cada bairro. No bairro X, 120 de 200 casas possuem videocassete, então a proporção é:
pX = 120200 = 0,6
No bairro Y, 240 de 500 casas possuem videocassete, então a proporção é:
pY = 240500 = 0,48

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença entre essas proporções:
pX - pY = 0,6 - 0,48 = 0,12
Uma diferença de 12 pontos percentuais.

Passo 4

Vamos fazer o teste de hipótese para verificar se essa diferença é significativa. As hipóteses são:
  • Hipótese nula ( H0): Não há diferença nas proporções, ou seja, pX = pY.
  • Hipótese alternativa ( HA): Há diferença nas proporções, ou seja, pX neq pY.

Passo 5

Calculamos a proporção combinada ( p) assumindo que a hipótese nula é verdadeira:
p = 120 + 240200 + 500 = 360700 approx 0,5143

Passo 6

Em seguida, calculamos o erro padrão ( SE) da diferença de proporções:
SE = raizp(1 - p)(1nX + 1nY) = raiz0,5143 times 0,4857 (1200 + 1500) approx 0,0495

Passo 7

Calculamos o valor do teste z:
z = (pX - pY) - 0SE = 0,120,0495 approx 2,424

Passo 8

Agora, vamos verificar o valor crítico para um teste bilateral com alpha = 10%. O valor crítico de z é aproximadamente pm1,645.

Passo 9

Comparamos o valor calculado de z com o valor crítico:
2,424 > 1,645
Como o valor de z está na região de rejeição, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Sim, há uma diferença significativa entre as proporções de possuidores de videocassete nos bairros X e Y ao nível de significância de 10 %.

Exercícios relacionados