Em uma pesquisa sobre possuidores de videocassete, encontram-se 120 das 200 casas pesquisadas do bairro X e 240 das 500 residéncias do bairro Y. Há diferença significativa entre a proporção de possuidores de video nos dols balrros? Usar
.
Passo 1
Beleza, vamos analisar esse problema juntos! A questão pede para verificarmos se há uma diferença significativa na proporção de casas que possuem videocassete entre os bairros X e Y. Para isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente o teste de diferença de proporções. Precisaremos calcular as proporções de cada bairro, a diferença entre elas e verificar se essa diferença é estatisticamente significativa usando um nível de significância de 10%.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as proporções de casas que possuem videocassete em cada bairro. No bairro X, 120 de 200 casas possuem videocassete, então a proporção é:
No bairro Y, 240 de 500 casas possuem videocassete, então a proporção é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a diferença entre essas proporções:
Uma diferença de 12 pontos percentuais.
Passo 4
Vamos fazer o teste de hipótese para verificar se essa diferença é significativa. As hipóteses são:
- Hipótese nula (
): Não há diferença nas proporções, ou seja, . - Hipótese alternativa (
): Há diferença nas proporções, ou seja, .
Passo 5
Calculamos a proporção combinada (
) assumindo que a hipótese nula é verdadeira:
Passo 6
Em seguida, calculamos o erro padrão (
) da diferença de proporções:
Passo 7
Calculamos o valor do teste z:
Passo 8
Agora, vamos verificar o valor crítico para um teste bilateral com
. O valor crítico de z é aproximadamente
.
Passo 9
Comparamos o valor calculado de z com o valor crítico:
Como o valor de z está na região de rejeição, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Sim, há uma diferença significativa entre as proporções de possuidores de videocassete nos bairros X e Y ao nível de significância de 10 %.