Quando estamos estudando os processos fotoquímicos que podem ocorrer na atmosfera superior, precisamos saber com que frequência átomos e moléculas colidem. A uma altitude de 20 km , a temperatura é 217 K e a pressão é de 0,050 \mathrm{~atm}. Qual é o livre percurso médio das moléculas de \mathrm{N}_{2} ? Quantas colisões por segundo uma molécula de \mathrm{N}_{2} realiza nessa altitude? Considere \sigma=0,43 \mathrm{~nm}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a altitude de 20 km onde T=217\\ \mathrm{K} e P=0,050\\ \mathrm{atm}, e pede (a) o livre percurso médio \lambda das moléculas de \mathrm{N}_2 e (b) o número de colisões por segundo que cada molécula sofre. O conteúdo usado será a teoria cinética dos gases: a equação de estado para obter a densidade numérica n, a fórmula
\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma}
para o livre percurso médio, e o cálculo da velocidade média molecular para achar a frequência de colisões.

Passo 2

Converter P para pascal e achar n.
P = 0,050\\ \mathrm{atm}\times1,013\times10^5\\ \mathrm{Pa/atm}=5{,}065\times10^3\\ \mathrm{Pa}.
A densidade numérica vem de
n=\frac{P}{k_B\,T},
onde k_B=1,381\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}. Logo,
n=\frac{5{,}065\times10^3}{(1,381\times10^{-23})\,(217)}\approx1,69\times10^{24}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 3

Calcular o livre percurso médio usando
\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma}.
Temos \sigma=0,43\\ \mathrm{nm}^2=0,43\times10^{-18}\\ \mathrm{m^2}. Assim,
\lambda =\frac{1}{\sqrt{2}\,(1,69\times10^{24})\,(0,43\times10^{-18})} \approx9{,}7\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Determinar a velocidade média das moléculas de \mathrm{N}_2:
v_{\mathrm{méd}}=\sqrt{\frac{8\,k_B\,T}{\pi\,m}},é
onde a massa de uma molécula é
m=\frac{M}{N_A}=\frac{28\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}}{6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}} \approx4{,}65\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
Logo,
v_{\mathrm{méd}} =\sqrt{\frac{8\,(1,381\times10^{-23})\,(217)}{\pi\,(4,65\times10^{-26})}} \approx4,05\times10^2\\ \mathrm{m/s}.é

Passo 5

Calcular a frequência de colisões \nu de uma molécula, que pode ser obtida por
\nu=\frac{v_{\mathrm{méd}}}{\lambda}.é
Substituindo os valores:
\nu=\frac{4,05\times10^2}{9,7\times10^{-7}} \approx4,2\times10^8\\ \mathrm{s^{-1}}.

Resposta

O livre percurso médio das moléculas de \mathrm{N}_2 a 20 km de altitude é
\lambda\approx9,7\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
e cada molécula sofre aproximadamente
\nu\approx4,2\times10^8
colisões por segundo nessa altitude.

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