Expresse a dízima periódica como a razão de dos inteiros
3 . \overline{142857}
Thomas 12ed exer 10.2.26
Sol. \frac{116402}{37037}

Passo 1

O enunciado pede para transformar a dízima periódica 3.\overline{142857} em uma fração. O conteúdo aqui é “conversão de dízima periódica em razão de inteiros” usando o truque de igualar a um x e subtrair múltiplos de x.

Passo 2

Seja
x = 3.\overline{142857}.
O período 142857 tem 6 dígitos.

Passo 3

Multiplicamos x por 10^6 para deslocar o período:
10^6 x = 3142857.\overline{142857}.
Subtraindo x em si, obtemos
10^6 x - x = 3142857.\overline{142857} - 3.\overline{142857}.

Passo 4

Isso dá
(10^6 - 1)\,x = 3142854,
ou seja,
999999\,x = 3142854 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{3142854}{999999}.

Passo 5

Para simplificar, dividimos numerador e denominador por 9:
x = \frac{3142854\div9}{999999\div9} = \frac{116402}{37037}.

Resposta

\displaystyle \frac{116402}{37037}

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