Estuda-se o resultado de um processo químico. Da experiência passada com esse processo sabe-se que a variância do resultado é de 5 (unidades de \sigma^{2}= porcentagem { }^{2} ). Os últimos cinco dias de operação da fábrica forneceram os seguintes resultados (em porcentagem): 91, 6 ; 88,75 ; 90,8 ; 89,95 ; 91,3.
a) Com o intuito de verificar se a porcentagem média é ou não de 90 \%, o que podemos afirmar considerando o nível descritivo (p-valor)?
b) Há razão para se acreditar que o resultado seja de menos de 90 \% ?
c) Qual o tamanho amostral necessário para detectar um resultado médio verdadeiro, considerando um erro máximo permissível de 4 \% com uma confiança de 95 \% ?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=5 com resultados em porcentagem e variância conhecida \sigma^2=5. Queremos (a) testar se a média verdadeira \mu é 90\% usando p-valor, (b) testar se \mu<90\% e (c) achar o tamanho amostral necessário para uma margem de erro E=4\% a 95\% de confiança. O conteúdo é teste de hipóteses para média com variância conhecida e cálculo de tamanho amostral.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar x e o desvio padrão conhecido \sigma. \displaystyle \sum x_i = 91{,}6 + 88{,}75 + 90{,}8 + 89{,}95 + 91{,}3 = 452{,}4 \displaystyle \bar x = \frac{452{,}4}{5} = 90{,}48 \displaystyle \sigma = \sqrt{5}\approx 2{,}2361

Passo 3

Parte (a): hipótese bilateral
H_0:\mu=90 \quad H_1:\mu\neq90
Estatística de teste
z=\frac{\bar x - 90}{\sigma/\sqrt{n}} =\frac{90{,}48-90}{\sqrt{5}/\sqrt{5}} =\frac{0{,}48}{1} =0{,}48
P-valor bilateral
p = 2\bigl(1-\Phi(0{,}48)\bigr)\approx 2(1-0{,}6844)=0{,}6312

Passo 4

Como p\approx0{,}63 é muito grande, não rejeitamos H_0. Ou seja, não há evidência contra a média ser 90\%.

Passo 5

Parte (b): hipótese unilateral à esquerda
H_0:\mu=90 \quad H_1:\mu<90
Usamos o mesmo z=0{,}48. P-valor unilateral
p = \Phi(0{,}48)\approx0{,}6844.
Como p\approx0{,}68>0{,}05, não rejeitamos H_0; não há evidência de que \mu<90\%.

Passo 6

Parte (c): tamanho amostral para margem de erro E=4\% a 95\% de confiança.
A fórmula é
n=\Bigl(\frac{z_{1-\alpha/2}\,\sigma}{E}\Bigr)^{2}
com z_{0{,}975}=1{,}96, \sigma=\sqrt{5} e E=4:
n=\Bigl(\frac{1{,}96\cdot\sqrt{5}}{4}\Bigr)^{2} \approx(1{,}0955)^{2}\approx1{,}20
Arredondando para cima, n=2.

Resposta

a) p-valor \approx 0,6312; não rejeita H_0.
b) p-valor \approx 0,6844; não rejeita H_0.
c) n=2.

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