Estão sendo estudados dois processos para conservar alimentos cuja principal variável de interesse é o tempo de duração destes. No processo A , o tempo
de duração segue distribuição
, e no processo B o tempo
obdece à distribuição
. Sorteiam-se duas amostras aleatórias independentes: a amostra do processo
, com 19 latas, apresentou tempo médio de duração 58.26, e a amostra do processo B, com 23 latas, apresentou tempo médio de duração 66.96.
Qual o limite inferior do intervalo de confiança de
para
? A tolerância de erro para a correção é
.
Qual o limite inferior do intervalo de confiança de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite inferior do intervalo de confiança de 93% para a média do tempo de duração do processo A. Para isso, vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Intervalo de Confiança. Vamos precisar saber calcular a média amostral, usar a fórmula do intervalo de confiança quando a variância é conhecida, e encontrar o valor crítico da tabela Z.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados que temos:
- O tempo de duração no processo A segue uma distribuição normal:
. - A amostra do processo A tem 19 latas com média
.
Como a variância
é conhecida, vamos usar a fórmula do intervalo de confiança para a média quando a distribuição é normal.
Passo 3
A fórmula do intervalo de confiança para a média
quando a variância é conhecida é:
Onde:
-
é a média amostral. -
é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado. -
é o desvio padrão (a raiz quadrada da variância). -
é o tamanho da amostra.
Passo 4
Como queremos o limite inferior do intervalo de confiança de 93%, vamos primeiro encontrar o valor crítico
.
O nível de confiança é 93%, então
e
.
Consultando a tabela Z, o valor correspondente a uma probabilidade cumulativa de
é aproximadamente
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro máximo (a parte que subtrai para encontrar o limite inferior):
Calculando:
-
-
- Então,
- Multiplicando pelo Z:
Passo 6
Finalmente, subtraímos esse erro da média amostral para encontrar o limite inferior:
Considerando a tolerância de erro de
, arredondamos para
.
Resposta
O limite inferior do intervalo de confiança de 93% para
é aproximadamente 54.0.