Estão sendo estudados dois processos para conservar alimentos cuja principal variável de interesse é o tempo de duração destes. No processo A , o tempo X de duração segue distribuição N(muA, sigma^2=101), e no processo B o tempo Y obdece à distribuição N(muB, sigma^2=101). Sorteiam-se duas amostras aleatórias independentes: a amostra do processo A, com 19 latas, apresentou tempo médio de duração 58.26, e a amostra do processo B, com 23 latas, apresentou tempo médio de duração 66.96.
Qual o limite inferior do intervalo de confiança de 93 % para muA ? A tolerância de erro para a correção é pm 0.5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite inferior do intervalo de confiança de 93% para a média do tempo de duração do processo A. Para isso, vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Intervalo de Confiança. Vamos precisar saber calcular a média amostral, usar a fórmula do intervalo de confiança quando a variância é conhecida, e encontrar o valor crítico da tabela Z.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • O tempo de duração no processo A segue uma distribuição normal: .
  • A amostra do processo A tem 19 latas com média .
Como a variância é conhecida, vamos usar a fórmula do intervalo de confiança para a média quando a distribuição é normal.

Passo 3

A fórmula do intervalo de confiança para a média barX pm Zalpha/2 times sigmaraizn quando a variância é conhecida é:
Onde:
  • é a média amostral.
  • é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
  • é o desvio padrão (a raiz quadrada da variância).
  • é o tamanho da amostra.

Passo 4

Como queremos o limite inferior do intervalo de confiança de 93%, vamos primeiro encontrar o valor crítico .
O nível de confiança é 93%, então e .
Consultando a tabela Z, o valor correspondente a uma probabilidade cumulativa de é aproximadamente .

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro máximo (a parte que subtrai para encontrar o limite inferior):
Erro = Zalpha/2 times sigmaraizn = 1.81 times raiz101raiz19
Calculando:
  • Então,
  • Multiplicando pelo Z:

Passo 6

Finalmente, subtraímos esse erro da média amostral para encontrar o limite inferior:
Limite Inferior = barX - Erro = 58.26 - 4.16 approx 54.10
Considerando a tolerância de erro de , arredondamos para .

Resposta

O limite inferior do intervalo de confiança de 93% para é aproximadamente 54.0.

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