statistic
Controle Sabão comum
mean 45.83 42.11
median 48.5 42
var 207.24 318.86
std.dev 14.4 17.86
min 17 12
max 69 70
SE.mean 4.16 5.95
Obs: mean (média), median (mediana), std.dev (desvio-padrão), SE.mean (erro padrão da média).
Qual o limite inferior do intervalo de confiança de |c|c|c| hline mu para a diferença entre o número médio de colônias de bactérias na solução controle e na solução de sabão comum? Obs: Assuma que as variâncias populacionais são iguais. A tolerância de erro para a correção é 95 %. pm 0.05

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos duas soluções: a solução controle e a solução de sabão comum. Queremos encontrar o limite inferior do intervalo de confiança de 95% para a diferença entre o número médio de colônias de bactérias nessas duas soluções. Para isso, vamos precisar usar conceitos de estatística inferencial, especificamente intervalos de confiança para a diferença entre duas médias assumindo variâncias iguais.

Passo 2

Vamos identificar os valores que temos:
  • Solução Controle:
    • Média ( barX1): 45.83
    • Desvio-padrão ( s1): 14.4
    • Erro padrão da média (SE.mean 1): 4.16
  • Solução de Sabão Comum:
    • Média ( barX2): 42.11
    • Desvio-padrão ( s2): 17.86
    • Erro padrão da média (SE.mean 2): 5.95

Passo 3

Como assumimos que as variâncias populacionais são iguais, podemos calcular a variância agrupada (pooled variance). A fórmula para a variância agrupada ( sp^2) é:
sp^2 = (n1 - 1)s1^2 + (n2 - 1)s2^2n1 + n2 - 2
Mas primeiro, precisamos descobrir os tamanhos das amostras ( n1 e n2). Sabemos que o erro padrão da média é dado por:
SEmean = sraizn
Rearranjando para encontrar n:
raizn = sSEmean implies n = ( sSEmean )^2
Calculando para cada amostra:
  • Para a solução controle:
    n1 = ( 14.44.16 )^2 approx 12
  • Para a solução de sabão comum:
    n2 = ( 17.865.95 )^2 approx 9

Passo 4

Agora, calculamos a variância agrupada ( sp^2):
sp^2 = (12 - 1)(14.4)^2 + (9 - 1)(17.86)^212 + 9 - 2 = 11 times 207.36 + 8 times 318.8619 = 2271.96 + 2550.8819 approx 4822.8419 approx 254.29

Passo 5

Com a variância agrupada, calculamos o erro padrão da diferença entre as médias ( SEdiff):
SEdiff = raizsp^2 ( 1n1 + 1n2 ) = raiz254.29 ( 112 + 19 ) = raiz254.29 times 0.1944 approx raiz49.33 approx 7.02

Passo 6

Para um intervalo de confiança de 95%, usamos o valor crítico t^* da distribuição t de Student com df = n1 + n2 - 2 = 19 graus de liberdade. Consultando a tabela t, encontramos t^* approx 2.093.

Passo 7

Calculamos o margem de erro:
Mar>=m de Erro = t^* times SEdiff = 2.093 times 7.02 approx 14.72

Passo 8

Calculamos a diferença entre as médias:
barX1 - barX2 = 45.83 - 42.11 = 3.72

Passo 9

Finalmente, determinamos o limite inferior do intervalo de confiança:
Limite Inferior = (barX1 - barX2) - Mar>=m de Erro = 3.72 - 14.72 = -11.00

Resposta

O limite inferior do intervalo de confiança de 95% para a diferença entre o número médio de colônias de bactérias na solução controle e na solução de sabão comum é -11.00.

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