Estão sendo estudados dois processos para conservar alimentos cuja principal variável de interesse é o tempo de duração destes. No processo A , o tempo X de duração segue distribuição N(muA, sigma^2=101), e no processo B o tempo Y obdece à distribuição N(muB, sigma^2=101). Sorteiam-se duas amostras aleatórias independentes: a amostra do processo A, com 19 latas, apresentou tempo médio de duração 58.26, e a amostra do processo B, com 23 latas, apresentou tempo médio de duração 66.96.
Qual é a margem de erro da estimativa para a diferença muA-muB, considerando confiança de 93 % ? A tolerância de erro para a correção é pm 0.5.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos comparando dois processos de conservação de alimentos, A e B, e queremos estimar a diferença entre as médias dos tempos de duração desses processos, ou seja, muA - muB. Para isso, vamos calcular a margem de erro dessa estimativa com um nível de confiança de 93%. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal, intervalo de confiança e margem de erro.

Passo 2

Vamos começar identificando os dados fornecidos:
  • Processo A: média amostral barX = 58.26, tamanho da amostra nA = 19, variância sigmaA^2 = 101.
  • Processo B: média amostral barY = 66.96, tamanho da amostra nB = 23, variância sigmaB^2 = 101.
Como as variâncias são conhecidas e as amostras são independentes, podemos usar a distribuição normal para calcular o intervalo de confiança da diferença das médias.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o Erro Padrão (EP) da diferença das médias. O Erro Padrão nos diz quão distante as médias amostrais podem estar das médias populacionais reais. A fórmula para o Erro Padrão da diferença das médias é:
EP = raizsigmaA^2nA + sigmaB^2nB
Vamos substituir os valores:
EP = raiz10119 + 10123 EP = raiz5.3158 + 4.3913 EP = raiz9.7071 EP approx 3.116

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor crítico z correspondente a um nível de confiança de 93%. O nível de confiança de 93% significa que queremos que a área central sob a curva normal seja de 93%, deixando 3.5% em cada cauda (porque 100% - 93% = 7%, e dividimos igualmente para cada lado).
Usando tabelas da distribuição normal ou uma calculadora, encontramos que o valor crítico z para 93% de confiança é aproximadamente z = 1.81.

Passo 5

Com o Erro Padrão e o valor crítico z, podemos calcular a Margem de Erro (ME) usando a fórmula:
ME = z times EP
Substituindo os valores:
ME = 1.81 times 3.116 ME approx 5.64

Resposta

A margem de erro da estimativa para a diferença muA - muB com confiança de 93% é aproximadamente pm 5.64.

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