Se 5 % das lâmpadas de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de que, numa amostra de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos:
a) nenhuma defeituosa (use binomial e poisson)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que descobrir a probabilidade de, em uma amostra de 100 lâmpadas escolhidas ao acaso, nenhuma delas ser defeituosa. A matéria que vamos usar aqui é probabilidade, mais especificamente as distribuições binomial e de Poisson. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho dessas distribuições e como aplicá-las nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a distribuição binomial. A distribuição binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas: sucesso ou fracasso. No nosso caso, cada lâmpada pode ser “defeituosa” (fracasso) ou “não defeituosa” (sucesso). A probabilidade de uma lâmpada ser defeituosa é 5%, ou seja, $ p = 0,05 $, e a probabilidade de não ser defeituosa é $ q = 1 - p = 0,95 $. Queremos saber a probabilidade de ter exatamente 0 lâmpadas defeituosas em 100, então $ n = 100 $ e $ k = 0 $.

Passo 3

A fórmula da distribuição binomial é:
P(k) = binomnk p^k q^n-k
Vamos aplicar isso no nosso caso:
P(0) = binom1000 (0,05)^0 (0,95)^100-0
Como $ \binom{100}{0} = 1 $ e $ (0,05)^{0} = 1 $, a expressão simplifica para:
binom1000 = 1
Agora, vamos calcular $ (0,95)^{100} $.

Passo 4

Calculando $ (0,95)^{100} $:
(0,95)^100
Então, a probabilidade de nenhuma lâmpada ser defeituosa usando a distribuição binomial é aproximadamente 0,592%.

Passo 5

Agora, vamos usar a distribuição de Poisson para encontrar a mesma probabilidade. A distribuição de Poisson é uma boa aproximação para a binomial quando o número de tentativas $ n $ é grande e a probabilidade de sucesso $ p $ é pequena. A média $ \lambda $ da Poisson é dada por:
n
A fórmula da distribuição de Poisson é:
p
No nosso caso, queremos $ k = 0 $:
lambda
Como $ 5^{0} = 1 $ e $ 0! = 1 $, simplificamos para:
lambda = n times p = 100 times 0,05 = 5

Passo 6

Calculando $ e^{-5} $:
e^-5
Então, a probabilidade de nenhuma lâmpada ser defeituosa usando a distribuição de Poisson é aproximadamente 0,674%.

Resposta

A probabilidade de, numa amostra de 100 lâmpadas, nenhuma ser defeituosa é aproximadamente 0,592 % usando a distribuição binomial e 0,674 % usando a distribuição de Poisson.

Exercícios relacionados