Se \mathrm{f}(\mathrm{x}) é uma função de densidade, qual é o valor de k ,
f(x)=k\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}, \quad 0<x<1,

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=k\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2},\quad 0<x<1,
e diz que f é uma função de densidade. A pergunta é: qual é o valor de k?\n
Informações relevantes: a densidade é definida para 0<x<1 (e implicitamente f(x)=0 fora desse intervalo). Precisamos escolher k de modo que f seja uma densidade válida.

Passo 2

Para uma função ser densidade de probabilidade, a condição obrigatória é que a área total sob o gráfico seja 1. Em fórmula isso significa:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de (0,1), essa integral reduz-se a uma integral em (0,1).

Passo 3

Escrevo a equação de normalização restringida ao suporte (0,1):
\int_{0}^{1} k\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}\,dx = 1.
Posso tirar k para fora da integral (porque é constante):
k\int_{0}^{1}\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}\,dx = 1.

Passo 4

Explico e aplico a identidade do quadrado da diferença: (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}. Aqui a=x e b=\tfrac{1}{3}, então
\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2} = x^{2} - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}.

Passo 5

Substituo essa expressão dentro da integral e uso linearidade da integral (a integral da soma é soma das integrais; constantes saem da integral):
k\int_{0}^{1}\left(x^{2} - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}\right)\,dx = k\left(\int_{0}^{1}x^{2}\,dx - \frac{2}{3}\int_{0}^{1}x\,dx + \frac{1}{9}\int_{0}^{1}1\,dx\right).

Passo 6

Vou calcular cada integral básica. Lembrete útil: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1},
então as integrais definidas são fáceis:
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3},
\int_{0}^{1}x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2},
\int_{0}^{1}1\,dx = \left[x\right]_{0}^{1} = 1.

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão do Passo 5 obtemos
k\left(\frac{1}{3} - \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{9}\cdot 1\right).
Calculo dentro dos parênteses: \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}, então
\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}=\frac{1}{9}.
Portanto a normalização dá a equação
k\cdot\frac{1}{9} = 1.

Passo 8

A partir da equação k\cdot\frac{1}{9}=1 resolvemos para k (o passo final está na seção de resposta).

Resposta

k=9

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