Se
é uma função de densidade, qual é o valor de k ,
,
Passo 1
O enunciado dá a função
e diz que
é uma função de densidade. A pergunta é: qual é o valor de
?\n
Informações relevantes: a densidade é definida para (e implicitamente
fora desse intervalo). Precisamos escolher
de modo que
seja uma densidade válida.
Informações relevantes: a densidade é definida para
Passo 2
Para uma função ser densidade de probabilidade, a condição obrigatória é que a área total sob o gráfico seja
. Em fórmula isso significa:
Como
fora de
, essa integral reduz-se a uma integral em
.
Passo 3
Escrevo a equação de normalização restringida ao suporte
:
Posso tirar
para fora da integral (porque é constante):
Passo 4
Explico e aplico a identidade do quadrado da diferença:
. Aqui
e
, então
Passo 5
Substituo essa expressão dentro da integral e uso linearidade da integral (a integral da soma é soma das integrais; constantes saem da integral):
Passo 6
Vou calcular cada integral básica. Lembrete útil: para
,
então as integrais definidas são fáceis:
Passo 7
Substituindo esses valores na expressão do Passo 5 obtemos
Calculo dentro dos parênteses:
, então
Portanto a normalização dá a equação
Passo 8
A partir da equação
resolvemos para
(o passo final está na seção de resposta).