Nos itens abaixo encontre a dimensão do espaço vetorial V e dê uma base para V
V=A em M22: A é triangular superioré

Passo 1

O enunciado define
Vsubset M2times2(R) como o conjunto de todas as matrizes triangulares superiores.
Precisamos encontrar dim(V) e uma base para V.

Passo 2

Para descrever um elemento genérico de V, basta observar que em uma matriz triangular superior de ordem 2 só podem aparecer valores não nulos nas posições (1,1), (1,2) e (2,2). Logo, todo
Ain V
pode ser escrito como
A= a & b 0 & c
com a,b,cinR.

Passo 3

A correspondência
a & b 0 & c long<=ftrightarrow (a,b,c)
é um isomorfismo de espaços vetoriais entre V e R^3. Isso mostra que há três graus de liberdade em V, ou seja,
dim(V)=3

Passo 4

Para formar uma base, basta escolher três matrizes de V que isolam cada parâmetro a, b e c. Essas matrizes são
E1= 1 & 0 0 & 0
E2= 0 & 1 0 & 0
E3= 0 & 0 0 & 1
Elas são linearmente independentes e geram V.

Resposta

dim(V)=3.
Uma base de V é formada pelas matrizes
1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 0 & 1

Exercícios relacionados