Nos itens abaixo encontre a dimensão do espaço vetorial e dê uma base para , onde
Passo 1
O enunciado pede a dimensão de V e uma base para
V = Ain M2times2(R) : A,B = B,A,
onde
B = 1 & 1[6pt]0 & 1
O conteúdo envolvido é o estudo do centralizador (ou comutante) de uma matriz, isto é, o conjunto de todas as matrizes que comutam com B. Para resolver, vamos escrever uma matriz genérica A, impor AB=BA, obter as condições sobre os coeficientes e, a partir daí, achar a dimensão e uma base.]
Passo 2
Escrevemos
A = a & b[4pt]c & d
e calculamos os dois produtos:
AB = a & b[4pt]c & d 1 & 1[4pt]0 & 1 = a & a + b[4pt] c & c + d ,
BA = 1 & 1[4pt]0 & 1 a & b[4pt]c & d = a + c & b + d[4pt] c & d ]
Passo 3
Para AB = BA igualamos as entradas correspondentes:
1. Da posição (1,1): a = a + c ;Rightarrow;c=0. 2. Da posição (1,2): a + b = b + d ;Rightarrow;a = d. 3. Da posição (2,2): c + d = d ;Rightarrow;c=0 (já obtido). 4. A posição (2,1) dá c = c, sem nova condição.
Logo, c=0 e d=a, enquanto a e b são livres.
Passo 4
As matrizes de V têm, portanto, a forma
A = a & b[4pt]0 & a = a1 & 0[4pt]0 & 1 + b0 & 1[4pt]0 & 0
Como temos dois parâmetros livres (a e b), concluímos que dim(V)=2.]
Passo 5
Uma escolha natural de base é dada pelas matrizes correspondentes a (a,b)=(1,0) e (0,1), isto é,