Nos itens abaixo encontre a dimensão do espaço vetorial V e dê uma base para V
V=A em M22: A B=B A, onde B=[ll1 & 1 0 & 1]

Passo 1

O enunciado pede a dimensão de V e uma base para
V = Ain M2times2(R) : A,B = B,A,
onde
B = 1 & 1[6pt]0 & 1
O conteúdo envolvido é o estudo do centralizador (ou comutante) de uma matriz, isto é, o conjunto de todas as matrizes que comutam com B. Para resolver, vamos escrever uma matriz genérica A, impor AB=BA, obter as condições sobre os coeficientes e, a partir daí, achar a dimensão e uma base.]

Passo 2

Escrevemos
A = a & b[4pt]c & d
e calculamos os dois produtos:
AB = a & b[4pt]c & d 1 & 1[4pt]0 & 1 = a & a + b[4pt] c & c + d ,
BA = 1 & 1[4pt]0 & 1 a & b[4pt]c & d = a + c & b + d[4pt] c & d ]

Passo 3

Para AB = BA igualamos as entradas correspondentes:
1. Da posição (1,1): a = a + c ;Rightarrow;c=0.
2. Da posição (1,2): a + b = b + d ;Rightarrow;a = d.
3. Da posição (2,2): c + d = d ;Rightarrow;c=0 (já obtido).
4. A posição (2,1) c = c, sem nova condição.
Logo, c=0 e d=a, enquanto a e b são livres.

Passo 4

As matrizes de V têm, portanto, a forma
A = a & b[4pt]0 & a = a1 & 0[4pt]0 & 1 + b0 & 1[4pt]0 & 0
Como temos dois parâmetros livres ( a e b), concluímos que dim(V)=2.]

Passo 5

Uma escolha natural de base é dada pelas matrizes correspondentes a (a,b)=(1,0) e (0,1), isto é,
I = 1 & 0[4pt]0 & 1 e N = 0 & 1[4pt]0 & 0 ]

Resposta

dim(V)=2.
Uma base para V é
,1 & 0[4pt]0 & 1,; 0 & 1[4pt]0 & 0 ]

Exercícios relacionados