Questão 3 No triângulo D E F, \overline{D E}=\overline{E F}=6 e \overline{F D}=6 \sqrt{2}. Quanto medem os angulos do triângulo?

Passo 1

O enunciado dá um triângulo DEF com lados \overline{DE}=6, \overline{EF}=6 e \overline{FD}=6\sqrt{2}. O objetivo é encontrar as medidas dos ângulos do triângulo usando a lei dos cossenos e, depois, a propriedade de triângulo isósceles.

Passo 2

Escolhemos calcular primeiro o ângulo em E, pois o lado oposto a ele é DF. Pela lei dos cossenos:
DF^2 = DE^2 + EF^2 - 2\,DE\,EF\cos(\angle E).

Passo 3

Substituindo os valores conhecidos:
(6\sqrt{2})^2 = 6^2 + 6^2 - 2\cdot6\cdot6\cos(\angle E)
72 = 36 + 36 - 72\cos(\angle E)
72 = 72 - 72\cos(\angle E) \quad\Longrightarrow\quad 72\cos(\angle E)=0 \quad\Longrightarrow\quad \cos(\angle E)=0
Logo,
\angle E = 90^\circ.

Passo 4

Como \overline{DE}=\overline{EF}, o triângulo é isósceles com base DF, o que implica \angle D=\angle F. Sabendo que a soma dos ângulos internos é 180^\circ, temos:
\angle D + \angle E + \angle F = 180^\circ \quad\Longrightarrow\quad 2\angle D + 90^\circ = 180^\circ \quad\Longrightarrow\quad 2\angle D = 90^\circ \quad\Longrightarrow\quad \angle D = 45^\circ
e, por simetria, \angle F=45^\circ.

Resposta

\angle D = 45^\circ, \angle E = 90^\circ e \angle F = 45^\circ.

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