Estima-se que, daqui a t meses, a populaçảo (
) de uma determinada cidade aumentará a uma taxa
habitantes por mês.
Sabemos que a população atual é de 50.000 habitantes.
Utilize os conceitos de integração e determine qual será a populaçāo daqui a oito meses:
Sabemos que a população atual é de 50.000 habitantes.
Utilize os conceitos de integração e determine qual será a populaçāo daqui a oito meses:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a taxa de crescimento da população de uma cidade, dada por
habitantes por mês. A população atual é de 50.000 habitantes. Nosso objetivo é, usando conceitos de integração, calcular qual será a população daqui a oito meses.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que
representa a taxa de variação da população em relação ao tempo. Para encontrar a população
em função do tempo, vamos integrar essa taxa de variação em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar a função
:
Aqui, estamos buscando a antiderivada da taxa de crescimento.
Passo 4
Efetuando a integração:
Então, combinando os resultados:
Onde
é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 5
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial: quando
,
:
Portanto, a função que nos dá a população em qualquer tempo
é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a população daqui a oito meses (
):
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
A população daqui a oito meses será de aproximadamente 50.402 habitantes.