Estima-se que, daqui a t meses, a populaçảo ( P ) de uma determinada cidade aumentará a uma taxa d Pd t=5+5 t^32 habitantes por mês.
Sabemos que a população atual é de 50.000 habitantes.
Utilize os conceitos de integração e determine qual será a populaçāo daqui a oito meses:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a taxa de crescimento da população de uma cidade, dada por habitantes por mês. A população atual é de 50.000 habitantes. Nosso objetivo é, usando conceitos de integração, calcular qual será a população daqui a oito meses.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que representa a taxa de variação da população em relação ao tempo. Para encontrar a população em função do tempo, vamos integrar essa taxa de variação em relação a .

Passo 3

Vamos integrar a função P(t) = integral (5 + 5 t^32) dt :
Aqui, estamos buscando a antiderivada da taxa de crescimento.

Passo 4

Efetuando a integração:
integral 5 , dt = 5t
integral 5 t^32 , dt = 5 cdot 25 t^52 = 2 t^52
Então, combinando os resultados:
P(t) = 5t + 2 t^52 + C
Onde é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 5

Para encontrar a constante 50.000 = 5(0) + 2(0)^52 + C Rightarrow C = 50.000 , usamos a condição inicial: quando P(t) = 5t + 2 t^52 + 50.000 , :
Portanto, a função que nos dá a população em qualquer tempo é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a população daqui a oito meses ( P(8) = 5(8) + 2 (8)^52 + 50.000 ):
5(8) = 40
Calculando cada termo:
8^52 = raiz8^5 = (2.8284)^5 approx 181
2 times 181 approx 362
P(8) = 40 + 362 + 50.000 = 50.402
Somando tudo:

Resposta

A população daqui a oito meses será de aproximadamente 50.402 habitantes.

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