Estima-se que, para um exportador, o valor v(x), em milhares de reais, do quilograma de certo minério seja dado pela lei: v(x)=0,6 x^2-2,4 x+6, sendo x o número de anos contados a partir de 2010 ( x=0), com 0 <= x <= 10.
Qual é o valor mínimo atingido pelo quilograma do produto?

Passo 1

O enunciado dá o valor da função
v(x)=0,6x^2-2,4x+6
(em milhares de reais) do quilograma de minério em função de x (anos desde 2010), para 0<= x<=10. Queremos determinar o valor mínimo de v(x) nesse intervalo. Como se trata de uma função quadrática, usaremos a fórmula do vértice para encontrar o mínimo.

Passo 2

Observamos que o coeficiente do termo quadrático é a=0,6>0. Isso indica que a parábola abre para cima e, portanto, o valor mínimo ocorre precisamente no vértice.

Passo 3

A abscissa xv do vértice de uma parábola ax^2+bx+c é dada por
xv = -b2a
Aqui temos a=0,6 e b=-2,4, logo
xv = --2,42cdot0,6 = 2,41,2 = 2

Passo 4

Agora calculamos o valor mínimo v(2):
v(2)=0,6cdot2^2-2,4cdot2+6 =0,6cdot4-4,8+6 =2,4-4,8+6 =3,6

Passo 5

Verificamos que xv=2 está dentro do domínio [0,10], portanto esse de fato é o valor mínimo de v(x) no intervalo dado.

Resposta

O valor mínimo atingido pelo quilograma do produto é 3,6 (milhares de reais), ou seja, R$ 3600.

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