Estima-se que, para um exportador, o valor v(x), em milhares de reais, do quilograma de certo minério seja dado pela lei: v(x)=0,6 x^2-2,4 x+6, sendo x o número de anos contados a partir de 2010 ( x=0), com 0 <= x <= 10.
Em que ano o preço do quilograma do produto será máximo? Qual será esse valor?

Passo 1

O enunciado dá a função que estima o preço (em milhares de reais) de um quilo do minério em função de x, o número de anos após 2010, no intervalo 0 <= x <= 10:
v(x)=0,6,x^2-2,4,x+6
Queremos saber em que ano (isto é, para que x) esse preço é máximo no intervalo dado e qual é esse valor. Para isso vamos usar cálculo de derivadas para achar extremos, analisar concavidade e depois comparar valores nos pontos críticos e nas extremidades.

Passo 2

Calculemos a derivada de v para achar pontos críticos:
v'(x)=ddxl(0,6,x^2-2,4,x+6r) =2cdot0,6,x-2,4=1,2,x-2,4
Igualando a zero para achar candidatos a extremos:
1,2,x-2,4=0 Longrightarrow x=2,41,2=2

Passo 3

Verificamos a concavidade com a segunda derivada:
v''(x)=ddx(1,2,x-2,4)=1,2>0
Como v''(x)>0 em todo o intervalo, a parábola é côncava para cima, logo x=2 é ponto de mínimo. Portanto, o máximo em [0,10] só pode ocorrer nas extremidades x=0 ou x=10.

Passo 4

Calculemos os valores de v em x=0 e em x=10:
v(0)=0,6cdot0^2-2,4cdot0+6=6,
v(10)=0,6cdot10^2-2,4cdot10+6 =0,6cdot100-24+6 =60-24+6=42

Passo 5

Comparando v(0)=6 e v(10)=42, concluímos que o valor máximo de v em [0,10] é 42 (milhares de reais) e ocorre em x=10.

Resposta

O preço atinge o valor máximo em x=10, isto é, no ano de 2010+10=2020, e esse valor é de R$ 42000 por quilograma.

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