Estima-se que, para um exportador, o valor v(x), em milhares de reais, do quilograma de certo minério seja dado pela lei:
, sendo x o número de anos contados a partir de 2010 (
), com
.
Em que ano o preço do quilograma do produto será máximo? Qual será esse valor?
Em que ano o preço do quilograma do produto será máximo? Qual será esse valor?
Passo 1
O enunciado dá a função que estima o preço (em milhares de reais) de um quilo do minério em função de
, o número de anos após
, no intervalo
:
Queremos saber em que ano (isto é, para que
) esse preço é máximo no intervalo dado e qual é esse valor. Para isso vamos usar cálculo de derivadas para achar extremos, analisar concavidade e depois comparar valores nos pontos críticos e nas extremidades.
Passo 2
Calculemos a derivada de
para achar pontos críticos:
Igualando a zero para achar candidatos a extremos:
Passo 3
Verificamos a concavidade com a segunda derivada:
Como
em todo o intervalo, a parábola é côncava para cima, logo
é ponto de mínimo. Portanto, o máximo em
só pode ocorrer nas extremidades
ou
.
Passo 4
Calculemos os valores de
em
e em
:
Passo 5
Comparando
e
, concluímos que o valor máximo de
em
é
(milhares de reais) e ocorre em
.
Resposta
O preço atinge o valor máximo em
, isto é, no ano de
, e esse valor é de R$
por quilograma.