Quando um fabricante de móveis produz x cadeiras por semana, o custo total e a receita total semanais são, respectivamente, dados por C=3000+40 x e R=150 x-14 x^2. Se a produção semanal atual é de 200 cadeiras e ela está aumentando a uma taxa de 10 cadeiras por semana, ache a taxa de variação:
da receita total semanal;

Passo 1

Beleza, vamos nessa! A gente tem um problema onde um fabricante de móveis produz x cadeiras por semana. O custo total é dado por C = 3000 + 40x e a receita total por semana é R = 150x - 14x^2. Atualmente, estão produzindo 200 cadeiras por semana e essa produção está aumentando a uma taxa de 10 cadeiras por semana. Vamos usar cálculo, mais especificamente derivadas, para achar a taxa de variação da receita total semanal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação da receita total semanal. Basicamente, queremos saber como a receita R está mudando no tempo conforme a produção x aumenta. Para isso, vamos usar a regra da cadeia nas derivadas.

Passo 3

A receita total é dada por R = 150x - 14x^2. Para achar a taxa de variação de R em relação ao tempo, dR/dt, precisamos derivar R em relação a x e depois multiplicar pela taxa de variação de x em relação ao tempo, dx/dt.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de R em relação a x:
dRdx = 150 - 12x
Isso significa que para cada cadeira adicional produzida, a receita muda conforme essa expressão.

Passo 5

Sabemos que dx/dt = 10 cadeiras por semana (a produção está aumentando a uma taxa de 10 cadeiras por semana) e que atualmente x = 200. Vamos substituir esses valores na derivada que encontramos:
dRdx = 150 - 12(200) = 150 - 100 = 50

Passo 6

Agora, aplicando a regra da cadeia:
dRdt = dRdx times dxdt = 50 times 10 = 500

Resposta

A taxa de variação da receita total semanal é de R$500 por semana.

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