Quando um fabricante de móveis produz
cadeiras por semana, o custo total e a receita total semanais são, respectivamente, dados por
e
. Se a produção semanal atual é de 200 cadeiras e ela está aumentando a uma taxa de 10 cadeiras por semana, ache a taxa de variação:
da receita total semanal;
da receita total semanal;
Passo 1
Beleza, vamos nessa! A gente tem um problema onde um fabricante de móveis produz
cadeiras por semana. O custo total é dado por
e a receita total por semana é
. Atualmente, estão produzindo 200 cadeiras por semana e essa produção está aumentando a uma taxa de 10 cadeiras por semana. Vamos usar cálculo, mais especificamente derivadas, para achar a taxa de variação da receita total semanal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação da receita total semanal. Basicamente, queremos saber como a receita
está mudando no tempo conforme a produção
aumenta. Para isso, vamos usar a regra da cadeia nas derivadas.
Passo 3
A receita total é dada por
. Para achar a taxa de variação de
em relação ao tempo,
, precisamos derivar
em relação a
e depois multiplicar pela taxa de variação de
em relação ao tempo,
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso significa que para cada cadeira adicional produzida, a receita muda conforme essa expressão.
Passo 5
Sabemos que
cadeiras por semana (a produção está aumentando a uma taxa de 10 cadeiras por semana) e que atualmente
. Vamos substituir esses valores na derivada que encontramos:
Passo 6
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Resposta
A taxa de variação da receita total semanal é de R$500 por semana.