Quando um fabricante de móveis produz x cadeiras por semana, o custo total e a receita total semanais são, respectivamente, dados por C=3000+40 x e R=150 x-14 x^2. Se a produção semanal atual é de 200 cadeiras e ela está aumentando a uma taxa de 10 cadeiras por semana, ache a taxa de variação:
do lucro total semanal.

Passo 1

O enunciado diz que a produção semanal é de x cadeiras, o custo total é
C = 3000 + 40x
e a receita total é
R = 150x - 14 x^2
Definimos o lucro semanal como L = R - C. Sabemos que atualmente x = 200 cadeiras e que
dxdt = 10 cadeiras/semana
O objetivo é achar a taxa dLdt.

Passo 2

Escrevemos L em função de x:
L(x) = R(x) - C(x) = l(150x - tfrac14 x^2r) - l(3000 + 40xr) = 110x - tfrac14 x^2 - 3000

Passo 3

Para encontrar dLdt usamos a regra da cadeia:
dLdt = dLdx,dxdt

Passo 4

Calculamos a derivada de L em relação a x:
dLdx = 110 - 12 x
Substituindo x = 200:
dLdx|x=200 = 110 - 12cdot200 = 110 - 100 = 10

Passo 5

Multiplicamos pela taxa de variação de x:
dLdt = l(tfracdLdxr),dxdt = 10 times 10 = 100

Resposta

A taxa de variação do lucro total semanal é dLdt=100 (unidade monetária por semana).

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