1. Para estimar o número de desempregados num determinado município, um economista tomou uma amostra de 1000 famílias. Constatou que existiam 1521 trabalhadores nessas famílias e que 284 estavam desempregados. Determine o IC com 95 \% para a verdadeira proporção de desempregados.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra em que foram observados 1521 trabalhadores, dos quais 284 estão desempregados. O objetivo é construir um intervalo de confiança de 95\% para a verdadeira proporção p de trabalhadores desempregados. Vamos usar o método do intervalo de confiança assintótico via aproximação normal, que requer calcular a proporção amostral \hat p, o erro padrão e a margem de erro com o quantil da distribuição normal padrão.

Passo 2

Calculamos a proporção amostral \hat p de desempregados como
\hat p = \frac{284}{1521}\approx0,1867.

Passo 3

Para 95\% de confiança, o quantil crítico da normal padrão é
z_{0,025}=1,96.

Passo 4

O erro padrão de \hat p é
\mathrm{SE}(\hat p) =\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} =\sqrt{\frac{0,1867\,(1-0,1867)}{1521}} \approx0,009995.

Passo 5

A margem de erro E fica
E = z_{0,025}\,\mathrm{SE}(\hat p) =1,96\times0,009995 \approx0,0196.

Passo 6

O intervalo de confiança de 95\% para p é
\hat p \pm E \quad\Longrightarrow\quad 0,1867 \pm 0,0196,
ou seja
[\,0,1867 - 0,0196,\;0,1867 + 0,0196\,] \approx[\,0,1671,\;0,2063\,].

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para a verdadeira proporção de desempregados é aproximadamente
[\,0,1671,\;0,2063\,],
ou seja, entre 16{,}7\% e 20{,}6\%.

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