Exercício 194. Um estudo tem por objetivo verificar se os aproveitamentos em Física e Matemática de alunos de uma escola de ensino médio estão relacionados. Uma amostra de alunos da escola apresentou os seguintes resultados:
Matemática
Física
Notas altas
Notas regulares
Notas baixas
Notas altas
46
71
22
Notas regulares
47
143
58
Notas baixas
29
72
40
Use Teste Qui-quadrado para concluir a partir dos dados de amostra, ao nível de significância
, se na população de alunos da escola apresenta a independência entre os aproveitamentos em Física e em Matemática.
Matemática | |||
Física | Notas altas | Notas regulares | Notas baixas |
Notas altas | 46 | 71 | 22 |
Notas regulares | 47 | 143 | 58 |
Notas baixas | 29 | 72 | 40 |
Passo 1
O enunciado fornece uma tabela de contingência
com as frequências observadas dos alunos em Física (linhas: notas altas, regulares e baixas) e em Matemática (colunas: notas altas, regulares e baixas), totalizando
alunos. Queremos testar, ao nível de significância de
, se há independência entre o aproveitamento em Física e em Matemática. O procedimento é o teste qui-quadrado de independência, que exige: cálculo dos totais marginais, dos valores esperados em cada célula, do estatístico
dos graus de liberdade
e comparação com o valor crítico.
Passo 2
Calcular os totais marginais e o total geral:
Sob hipótese de independência, o valor esperado em cada célula é
Passo 3
Calcular
e a contribuição
célula a célula e somar:
Linha 1
:
soma da linha 1:
.
Linha 2
:
soma da linha 2:
.
Linha 3
:
soma da linha 3:
.
Portanto,
Passo 4
Os graus de liberdade são
. Para
, o valor crítico da qui-quadrado é
Como
, rejeitamos a hipótese nula de independência.
Resposta
Rejeita-se
. Há evidência, ao nível de
, de dependência entre o aproveitamento em Física e em Matemática.