Exercício 194. Um estudo tem por objetivo verificar se os aproveitamentos em Física e Matemática de alunos de uma escola de ensino médio estão relacionados. Uma amostra de alunos da escola apresentou os seguintes resultados:
Matemática
Física Notas altas Notas regulares Notas baixas
Notas altas 46 71 22
Notas regulares 47 143 58
Notas baixas 29 72 40
Use Teste Qui-quadrado para concluir a partir dos dados de amostra, ao nível de significância 10 \%, se na população de alunos da escola apresenta a independência entre os aproveitamentos em Física e em Matemática.

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela de contingência 3\times3 com as frequências observadas dos alunos em Física (linhas: notas altas, regulares e baixas) e em Matemática (colunas: notas altas, regulares e baixas), totalizando N alunos. Queremos testar, ao nível de significância de 10\%, se há independência entre o aproveitamento em Física e em Matemática. O procedimento é o teste qui-quadrado de independência, que exige: cálculo dos totais marginais, dos valores esperados em cada célula, do estatístico
\chi^2 \;=\;\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}},
dos graus de liberdade (r-1)(c-1) e comparação com o valor crítico.

Passo 2

Calcular os totais marginais e o total geral:
\begin{aligned} &\text{Row totals:}& R_1&=46+71+22=139,\quad R_2=47+143+58=248,\quad R_3=29+72+40=141,\\\ &\text{Column totals:}& C_1&=46+47+29=122,\quad C_2=71+143+72=286,\quad C_3=22+58+40=120,\\\ &\text{Grand total:}& N&=139+248+141=528. \end{aligned}
Sob hipótese de independência, o valor esperado em cada célula é
E_{ij}=\frac{R_i\,C_j}{N}.

Passo 3

Calcular E_{ij} e a contribuição \dfrac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}} célula a célula e somar:
Linha 1 R_1=139:
\begin{aligned} E_{11}&=\frac{139\cdot122}{528}\approx32{,}12,& \frac{(46-32{,}12)^2}{32{,}12}&\approx6{,}00,\\\ E_{12}&=\frac{139\cdot286}{528}\approx75{,}29,& \frac{(71-75{,}29)^2}{75{,}29}&\approx0{,}24,\\\ E_{13}&=\frac{139\cdot120}{528}\approx31{,}57,& \frac{(22-31{,}57)^2}{31{,}57}&\approx2{,}90; \end{aligned}
soma da linha 1: 6{,}00+0{,}24+2{,}90=9{,}14.
Linha 2 R_2=248:
\begin{aligned} E_{21}&=\frac{248\cdot122}{528}\approx57{,}32,& \frac{(47-57{,}32)^2}{57{,}32}&\approx1{,}86,\\\ E_{22}&=\frac{248\cdot286}{528}\approx134{,}33,& \frac{(143-134{,}33)^2}{134{,}33}&\approx0{,}56,\\\ E_{23}&=\frac{248\cdot120}{528}\approx56{,}36,& \frac{(58-56{,}36)^2}{56{,}36}&\approx0{,}05; \end{aligned}
soma da linha 2: 1{,}86+0{,}56+0{,}05=2{,}47.
Linha 3 R_3=141:
\begin{aligned} E_{31}&=\frac{141\cdot122}{528}\approx32{,}58,& \frac{(29-32{,}58)^2}{32{,}58}&\approx0{,}39,\\\ E_{32}&=\frac{141\cdot286}{528}\approx76{,}38,& \frac{(72-76{,}38)^2}{76{,}38}&\approx0{,}25,\\\ E_{33}&=\frac{141\cdot120}{528}\approx32{,}04,& \frac{(40-32{,}04)^2}{32{,}04}&\approx1{,}98; \end{aligned}
soma da linha 3: 0{,}39+0{,}25+1{,}98=2{,}62.
Portanto,
\chi^2\approx9{,}14+2{,}47+2{,}62=14{,}23.

Passo 4

Os graus de liberdade são (3-1)(3-1)=4. Para \alpha=0{,}10, o valor crítico da qui-quadrado é
\chi^2_{0{,}10,\,4}\approx7{,}78.
Como \chi^2_{\text{calc}}=14{,}23>7{,}78, rejeitamos a hipótese nula de independência.

Resposta

Rejeita-se H_0. Há evidência, ao nível de 10\%, de dependência entre o aproveitamento em Física e em Matemática.

Exercícios relacionados