Exercício 191. Em um estudo sobre alcoolismo, foram sorteadas 500 pessoas adultas de uma certa população e observadas duas variáveis para cada uma delas: dependência de álcool ( \operatorname{sim} / não) e número de progenitores com dependência ( 0,1 ou 2). Entre os 80 portadores de dependência, 10 não tinham qualquer progenitor dependente e 24 tinham 1 progenitor dependente. Das 500 pessoas pesquisadas, 60 tinham 1 progenitor dependente e 50 tinham 2 progenitores dependentes.
Use os dados acima para verificar, via o Teste Qui-quadrado com o nível de significância de 5 \%, se exista um componente genético que influi no alcoolismo.

Passo 1

O enunciado trata de duas variáveis categóricas em 500 pessoas: dependência de álcool (sim/não) e número de progenitores dependentes 0,1,2. Queremos testar se essas variáveis são independentes ou se há associação (componente genético). Para isso usaremos o Teste qui-quadrado de independência a 5\%.

Passo 2

Primeiro, montamos a tabela de contingência com as frequências observadas. Sabemos que há 80 dependentes de álcool, dos quais 10 têm 0 pais dependentes, 24 têm 1 pai dependente e 46 têm 2. Como há 60 pessoas com 1 progenitor dependente e 50 com 2, o número de não-dependentes nessas categorias é:
\begin{aligned} &\text{Total com 0 pais} = 500 - 60 - 50 = 390,\\\ &\text{Não-dependentes e 0 pais} = 390 - 10 = 380,\\\ &\text{Não-dependentes e 1 pai} = 60 - 24 = 36,\\\ &\text{Não-dependentes e 2 pais} = 50 - 46 = 4. \end{aligned}ããã
Logo a tabela é
\begin{array}{c|ccc|c} &0&1&2&\text{Total}\\hline \text{Sim}&10&24&46&80\\\ \text{Não}&380&36&4&420\\hline \text{Total}&390&60&50&500 \end{array}ã

Passo 3

Agora calculamos as frequências esperadas em cada célula sob independência:
E_{ij} = \frac{(\text{total da linha }i)\times(\text{total da coluna }j)}{500}.
Para a linha “Sim”:
E_{\text{Sim},0} = \frac{80\cdot390}{500}=62{,}4,\quad E_{\text{Sim},1} = \frac{80\cdot60}{500}=9{,}6,\quad E_{\text{Sim},2} = \frac{80\cdot50}{500}=8.
Para a linha “Não”:
E_{\text{Não},0} = \frac{420\cdot390}{500}=327{,}6,\quad E_{\text{Não},1} = \frac{420\cdot60}{500}=50{,}4,\quad E_{\text{Não},2} = \frac{420\cdot50}{500}=42.ããã

Passo 4

O estatístico qui-quadrado é
\chi^2 = \sum_{\text{todas as células}} \frac{(O - E)^2}{E}.é
Calculando célula a célula:
\begin{aligned} &\frac{(10-62{,}4)^2}{62{,}4}\approx43{,}99, \quad \frac{(24-9{,}6)^2}{9{,}6}=21{,}60, \quad \frac{(46-8)^2}{8}=180{,}50,\\\ &\frac{(380-327{,}6)^2}{327{,}6}\approx8{,}38,\quad \frac{(36-50{,}4)^2}{50{,}4}\approx4{,}11,\quad \frac{(4-42)^2}{42}\approx34{,}38. \end{aligned}
Somando tudo:
\chi^2 \approx 43{,}99 + 21{,}60 + 180{,}50 + 8{,}38 + 4{,}11 + 34{,}38 = 292{,}96.

Passo 5

O número de graus de liberdade é
(\text{número de linhas}-1)\times(\text{número de colunas}-1)=(2-1)\times(3-1)=2.úú
O valor crítico para \alpha=0{,}05 e df=2 é \chi^2_{0{,}95,2}=5{,}991. Como 292{,}96\gg5{,}991, rejeitamos a hipótese de independência.

Resposta

Rejeita-se a independência a 5\%. Há evidência de associação entre dependência de álcool e número de progenitores dependentes, indicando um componente genético.

Exercícios relacionados