5)

Para se estimar a porcentagem de alunos de um curso favoráveis à modificação do currículo escolar, tomouse uma amostra de 200 alunos, dos quais 80 foram favoráveis. Determine um intervalo de confiança de 95% para a proporção de alunos favoráveis à modificação do currículo escolar.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 95 % para a proporção de alunos favoráveis à modificação do currículo escolar. Temos uma amostra de tamanho n=200 com x=80 sucessos (alunos favoráveis). Como n\hat p=80 e n(1-\hat p)=120 são maiores que 5, podemos usar a aproximação normal (Teorema do Limite Central) para construir o intervalo.

Passo 2

Calculamos a proporção amostral \hat p:
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{80}{200} = 0,4.

Passo 3

Calculamos o erro-padrão da proporção:
SE = \sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0,4\,(1-0,4)}{200}} = \sqrt{\frac{0,4\cdot0,6}{200}} = \sqrt{0,0012} \approx 0,0346.

Passo 4

Para um nível de confiança de 95 % usamos o valor crítico da normal padrão
z_{\alpha/2} = 1,96.
O erro máximo tolerável (margem de erro) é
E = z_{\alpha/2}\times SE = 1,96 \times 0,0346 \approx 0,0678.

Passo 5

Os limites do intervalo de confiança são
\hat p - E = 0,4 - 0,0678 = 0,3322,
\hat p + E = 0,4 + 0,0678 = 0,4678.

Resposta

O intervalo de confiança de 95 % para a proporção de alunos favoráveis é aproximadamente
(0,332,\,0,468).

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