Um grupo de pesquisa de mercado constatou que 25 \% dos 200 fregueses recentemente entrevistados em um grande shopping center suburbano residem a mais de 15 milhas do local. Suponha que foi tomada uma amostra aleatória.
a) Construa um intervalo de 95 \% de confiança para a percentagem efetiva de fregueses que moram a mais de 15 milhas do shopping center.
b) Qual é o erro máximo associado ao intervalo da parte a ?

Passo 1

O enunciado diz que, numa amostra aleatória de n=200 fregueses, a proporção amostral dos que moram a mais de 15 milhas é \hat{p}=0,25. O conteúdo aqui é intervalo de confiança para proporção, usando aproximação normal. Vamos precisar de:
  • a proporção amostral \hat{p};
  • o valor crítico z_{1-\alpha/2} para nível de confiança de 95 %;
  • o erro padrão de \hat{p}.

Passo 2

Calculamos a proporção amostral como
\hat{p}=\frac{\text{número de sucessos}}{n} =\frac{0,25\times200}{200} =0,25.ú

Passo 3

Para 95 % de confiança, temos \alpha=0,05 e
z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}\approx1,96.

Passo 4

O erro padrão de \hat{p} é
\mathrm{SE}(\hat{p}) =\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} =\sqrt{\frac{0,25\cdot0,75}{200}} =\sqrt{0,0009375} \approx0,0306.
Logo o erro máximo (margem de erro) é
E =z_{0,975}\times\mathrm{SE}(\hat{p}) \approx1,96\times0,0306 \approx0,06.

Passo 5

O intervalo de confiança de 95 % para a proporção verdadeira p é
\hat{p}\pm E =0,25\pm0,06 =[0,19,\;0,31].

Resposta

a) Intervalo de confiança de 95 %: [0,19,\;0,31].
b) Erro máximo (margem de erro): E\approx0,06 (6 %).

Exercícios relacionados