8)

O governo alega que no máximo 15 \% das famílias de certa área recebem renda inferior ao nível considerado como pobreza. Numa amostra de 60 famílias, encontraram-se 12 em tais condições. Teste a alegação, contra a alternativa de \pi>15 \%. (use \alpha=5 \% ).

Passo 1

O enunciado pede um teste de hipóteses para proporção de famílias em situação de pobreza. Temos uma amostra de n=60 famílias, das quais 12 são pobres. O governo alega que a proporção verdadeira \pi é no máximo 15\%, e queremos testar essa alegação contra a alternativa de aumento:
H_0:\pi = 0{,}15 \quad\text{vs.}\quad H_1:\pi > 0{,}15
Como n é grande e np_0 e n(1-p_0) são maiores que 5, usamos a aproximação normal ao teste de proporção.

Passo 2

Calculamos a proporção amostral \hat p:
\hat p = \frac{12}{60} = 0{,}20.

Passo 3

Sob H_0, a variância de \hat p vale p_0(1-p_0)/n. O desvio-padrão (erro padrão) é
\mathrm{SE} = \sqrt{\frac{0{,}15 \times (1 - 0{,}15)}{60}} = \sqrt{\frac{0{,}15 \times 0{,}85}{60}} \approx 0{,}0461.

Passo 4

O estatístico do teste z é
z = \frac{\hat p - p_0}{\mathrm{SE}} = \frac{0{,}20 - 0{,}15}{0{,}0461} \approx 1{,}08.

Passo 5

Para nível de significância \alpha=5\% e teste unilateral à direita, o valor crítico é
z_{0{,}95} \approx 1{,}645.
Como 1{,}08 < 1{,}645, não rejeitamos H_0.

Resposta

Não há evidência suficiente, a 5\% de significância, para concluir que a proporção de famílias pobres exceda 15\%.

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