1) \quad B

“Ao considerar que no Japão a vida média já é superior a 81 anos, a esperança de vida no Brasil, de pouco mais que 71 anos, ainda é relativamente baixa. E, de acordo com a projeção mais recente da mortalidade, somente por volta de 2040 o Brasil estaria alcançando o patamar de 80 anos de esperança de vida ao nascer. A esperança de vida ao nascer de 71,3 anos coloca o Brasil na 86^{\underline{\mathrm{a}}} posição no ranking da ONU, considerando as estimativas para 192 países ou áreas no período 2000-2005.”
(http://www.ibge.gov.br/home/presidencia/noticias/noticia_ visualiza.php?id_noticia=266&)
Suponhamos que a vida média dos brasileiros, obtida por meio de uma amostra aleatória de 400 brasileiros tenha sido igual a 71,8 anos, com um desvio-padrão de 2,5 anos, em 2008. Qual o intervalo de confiança de 90 \% para a média populacional, em anos, sabendo que a população está normalmente distribuída?
(A) I C_{\mu}:[71,79 ; 71,81].
(B) \quad I C_{\mu}:[71,59 ; 72,01]
(C) I C_{\mu}:[71,67 ; 71,93]
(D) \quad I C_{\mu}:[71,50 ; 72,10]
(E) \quad I C_{\mu}:[71,30 ; 72,30]

Passo 1

O enunciado diz que temos uma amostra de tamanho n=400 de brasileiros em 2008, com média amostral \bar{x}=71,8 anos e desvio-padrão amostral s=2,5 anos. Como a população é normalmente distribuída e queremos um intervalo de confiança de 90\% para a média populacional \mu, vamos usar a fórmula do intervalo
IC_{\mu} \;=\;\bar{x}\;\pm\;z_{\alpha/2}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.

Passo 2

Aqui \alpha=1-0,90=0,10, logo \alpha/2=0,05. O valor crítico de z que deixa 5\% de área em cada cauda é
z_{0,05}\approx1,645.

Passo 3

Calculamos o erro padrão da média:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{2,5}{\sqrt{400}}=\frac{2,5}{20}=0,125.
Em seguida, a margem de erro é
E=z_{0,05}\times0,125=1,645\times0,125\approx0,2056.

Passo 4

Os limites do intervalo de confiança são
\text{limite inferior} =71,8-0,2056\approx71,5944\quad\to\;71,59,
\text{limite superior} =71,8+0,2056\approx72,0056\quad\to\;72,01.
Portanto,
IC_{\mu}:[71,59\;;\;72,01].

Resposta

(B) I C_{\mu}:[71,59 ; 72,01]

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