Para estimar o preço médio, uma amostra de 6 produtos foi retirada, sem reposição, de uma população aproximadamente normal, com 150 produtos e forneceu s^{2}=R \ 10,00 . Qual deve ser o tamanho de uma amostra, para que a estimativa do preço médio forneça um erro deçéç\mathrm{R} $2,00 , no máximo, comá90 %$ de confiança?

Passo 1

O enunciado pede o tamanho de uma amostra, sem reposição, de uma população finita de N=150 elementos, de modo que a estimativa da média tenha erro máximo E=R\$2,00 com 90\% de confiança. Como a variância populacional é desconhecida, usamos o desvio-padrão estimado \sigma\approx\sqrt{s^{2}}=\sqrt{10}. Para populações finitas, a margem de erro é
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{N - n}{\,N - 1\,}},
com z_{\alpha/2}=z_{0,95}=1{,}645.

Passo 2

Substituímos os valores na fórmula e elevamos ao quadrado para isolar n:
E^{2} = z_{\alpha/2}^{2}\,\sigma^{2}\,\frac{N - n}{\,n\,(N - 1)\!} \quad\Longrightarrow\quad E^{2}(N - 1)\,n = z_{\alpha/2}^{2}\,\sigma^{2}\,(N - n).

Passo 3

Resolvendo para n:
n\bigl[E^{2}(N - 1) + z_{\alpha/2}^{2}\,\sigma^{2}\bigr] = z_{\alpha/2}^{2}\,\sigma^{2}\,N \quad\Longrightarrow\quad n = \frac{z_{\alpha/2}^{2}\,\sigma^{2}\,N}{E^{2}(N - 1) + z_{\alpha/2}^{2}\,\sigma^{2}}.
Agora,
z_{\alpha/2}^{2}\,\sigma^{2} = (1{,}645)^{2}\times 10 \approx 27{,}06, \quad E^{2}(N - 1)=4\times149=596,
n \approx \frac{27{,}06\times150}{596+27{,}06} = \frac{4\,059}{623{,}06}\approx6{,}52.

Passo 4

Como n deve ser inteiro e devemos garantir E\le2, arredondamos para cima:
n = 7.

Resposta

O tamanho mínimo da amostra é 7.

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