Para estimar a profundidade de um poço você solta uma pedra e mede quanto tempo até ouvir o barulho da queda. Suponha que o tempo seja De<a t=2 s.
(a) Qual a melhor estimativa que podemos fazer para a altura do poço se desprezamos o tempo que o som demora para chegar até o seu ouvido? (Use g=10 m / s^2 ).
(b) Suponha agora que a velocidade do som é finita (tome vs=330 m / s ). Obtenha uma expressão geral relacionando a altura do poço com o tempo De<a t. Em seguida aplique essa expressão para o caso De<a t=2 s e compare com o item anterior.

Passo 1

O enunciado pede estimar a profundidade de um poço a partir do tempo total De<a t entre soltar a pedra e ouvir o impacto. Vamos usar dois modelos: (i) desprezando o tempo do som, aplicando cinemática de queda livre; (ii) considerando que o som viaja a uma velocidade finita vs.

Passo 2

Quando desprezamos o tempo de propagação do som, só existe tempo de queda livre t, e a altura H satisfaz
H = tfrac12,g,t^2,
com t=De<a t.
Substituindo g=10,m/s^2 e De<a t=2,s, obtemos
H = tfrac12cdot10cdot(2)^2 = 20,m

Passo 3

Quando consideramos a velocidade finita do som vs, o tempo total De<a t é a soma do tempo de queda t1 e do tempo de propagação t2:
t1 = raiz2Hg, t2 = Hvs,
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De<a t = raiz2Hg + Hvs
Para De<a t=2,s, g=10,m/s^2 e vs=330,m/s, fazemos uma aproximação iterativa: começamos com H0=20,m, calculamos t2=H0/vsapprox0,06,s, então t1approx2-0,06=1,94,s e
H = tfrac12,g,t1^2 approx tfrac12cdot10cdot(1,94)^2 approx 18,9,m

Passo 4

Comparando os resultados, incluir o tempo de som reduz a profundidade estimada de 20,m para cerca de 18,9,m, uma diferença de aproximadamente 1,1,m (ou 6%).

Resposta

(a) H = 20,m
(b) A expressão geral é
De<a t = raiz2Hg + Hvs,
que, para De<a t=2,s e vs=330,m/s, dá Happrox18,9,m, cerca de 6% menor que no item (a).

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