Uma onda eletromagnética propaga-se em um meio não-magnético com varepsilon=2 varepsilon0, sigma= 2[mS / m], e campo magnético no domínio do tempo:
h=0,28 e^-alpha z cos (10^8 t-beta z) x
Determine:
a) Valor instantâneo e médio do Vetor de Poynting.
b) Densidade média de energia dos campos elétrico e magnético.

Passo 1

O enunciado dá uma onda eletromagnética que se propaga no eixo z em um meio não–magnético ( mu=mu0), com
varepsilon=2varepsilon0, sigma=2times10^-3,S/m,
e campo magnético no domínio do tempo
vec H(z,t)=0,28,e^-alpha zcosl(10^8t-beta zr),hat x[A/m]
Pede-se
a) o valor instantâneo vec S(z,t) e o valor médio lang<=vec Srang<= do vetor de Poynting;
b) as densidades médias de energia elétrica e magnética.
Para resolver, vamos (i) calcular alpha e beta, (ii) obter a impedância intrínseca eta e o campo vec E, (iii) usar vec S=vec Etimesvec H e (iv) usar ue=tfrac14varepsilon E0^2e^-2alpha z, um=tfrac14mu H0^2e^-2alpha z.

Passo 2

Cálculo de alpha e beta. Definindo
omega=10^8 rad/s, varepsilon=2varepsilon0=2cdot8,854times10^-12, mu=mu0=4pitimes10^-7, sigma=2times10^-3,
temos
sigmaomegavarepsilon =2times10^-310^8cdot2cdot8,854times10^-12 approx1,13
As fórmulas padrão para meio levemente condutor são
alpha =omegaraizmuvarepsilonover2,raizraiz1+(sigma/omegavarepsilon)^2-1, beta =omegaraizmuvarepsilonover2,raizraiz1+(sigma/omegavarepsilon)^2+1
Substituindo numericamente obtém-se
alphaapprox0,24 Np/m, betaapprox0,53 rad/m

Passo 3

Cálculo da impedância intrínseca eta. Em meio condutor genérico
eta =raizjomegamusigma+jomegavarepsilon =|eta|,e^jvarphi,
com
|eta| =raizomegamuraizsigma^2+(omegavarepsilon)^2 approx13,30 Omega, varphi =pi4-12arctansigmaomegavarepsilon approx0,36 rad
O campo elétrico associado é vec E=eta,hat ntimesvec H, orientado em hat y com fase varphi. Em módulo:
E0=|eta|,H0 =13,30times0,28 approx3,72 V/m,
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vec E(z,t) =3,72,e^-alpha zcosl(10^8t-beta z+varphir),(-hat y)

Passo 4

Valor instantâneo do vetor de Poynting. Como vec S=vec Etimesvec H aponta em +hat z, temos em módulo
Sz(z,t) =E(z,t),H(z,t) =E0H0,e^-2alpha z, cosl(omega t-beta z+varphir), cosl(omega t-beta zr)
Substituindo E0H0approx1,04,
boxed vec S(z,t) =1,04,e^-2alpha z, cosl(10^8t-beta z+varphir), cosl(10^8t-beta zr),hat z[W/m^2]

Passo 5

Valor médio do vetor de Poynting. Usa–se
lang<=vec Srang<= =12Revec Etimesvec H^* =12Reeta,H0^2,e^-2alpha z,hat z
Como Reeta=|eta|cosvarphiapprox13,30cdot0,93=12,37,
boxed lang<= Sz(z)rang<= =12cdot12,37cdot(0,28)^2,e^-2alpha z approx0,49,e^-0,48,z[W/m^2]

Passo 6

Densidades médias de energia. Em meio não–magnético e pouco dispersivo vale
ue,méd =14,varepsilon,E0^2,e^-2alpha z, um,méd =14,mu,H0^2,e^-2alpha z éé
Substituindo valores:
ue,méd(z) =14cdot2varepsilon0cdot(3,72)^2,e^-2alpha z approx6,1times10^-11,e^-0,48,z;[J/m^3], é
um,méd(z) =14cdotmu0cdot(0,28)^2,e^-2alpha z approx2,5times10^-8,e^-0,48,z;[J/m^3] é

Resposta

a)
vec S(z,t) =1,04,e^-2alpha zcos(omega t-beta z+varphi)cos(omega t-beta z),hat z
e
lang<= Sz(z)rang<= approx0,49,e^-0,48,z W/m^2
b)
ue,méd(z)approx6,1times10^-11e^-0,48,z J/m^3, um,méd(z)approx2,5times10^-8e^-0,48,z J/m^3 éé

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