Uma mancha de óleo de forma circular se espalha de tal modo que seu raio aumenta à razão de 6 m / h. Qual é a taxa de variação da área da mancha quando o raio é 60 m ? R) 25.133 pés quadrados por hora

Passo 1

Resumo do enunciado: uma mancha de óleo forma um círculo cujo raio cresce a uma taxa de 6 m/h. Queremos saber como a área desse círculo varia no instante em que o raio vale 60 m. O conteúdo envolve derivadas de funções compostas e a fórmula da área do círculo.

Passo 2

Expressão da área: a área A de um círculo de raio r é dada por
A = pi r^2
Vamos derivar essa relação em função do tempo t.

Passo 3

Derivada em função do tempo: aplicando a regra da cadeia, temos
dAdt = 2pi r cdot drdt

Passo 4

Substituição dos valores: sabemos que r=60 m e dr/dt=6 m/h. Logo
dAdt = 2pi times 60 times 6 = 720pi m^2/h.

Passo 5

Interpretação numérica: usando piapprox3,1416, ficamos com
dAdtapprox720times3,1416approx2261,95 m^2/h, ou seja, a área cresce cerca de 2262 m² por hora.

Resposta

720pi m^2/h (aprox. 2261,95 m^2/h)

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