Um estudo ambiental realizado em uma cidade revela que haverá Q(p)=p^2+4 p+ 900 unidades de um perigoso poluente no ar quando a população for de p mil habitantes. Se a população atualmente é de 50.000 habitantes e está aumentando à taxa de 1.500 habitantes por ano, qual é a taxa de aumento da poluição causada pelo produto?
R) 156 unidades por ano.

Passo 1

O enunciado dá a quantidade de poluente em função da população p (em milhares de habitantes) por
Q(p)=p^2+4p+900
e informa que atualmente p=50 (isto é, 50 mil habitantes) e que a população cresce a 1,500 habitantes/ano.

Passo 2

Convertemos a taxa de crescimento da população para milhares por ano:
dpdt=1,5001,000=1,5(milhares de habitantes por ano)

Passo 3

Para achar a taxa de variação da poluição usamos a regra da cadeia. Primeiro calculamos
dQdp=2p+4
Então
dQdt=dQdp,dpdt=(2p+4),dpdt

Passo 4

Substituindo p=50 e dpdt=1,5 temos
dQdt=(2cdot50+4)cdot1,5=(100+4)cdot1,5=104cdot1,5=156

Resposta

A poluição aumenta a uma taxa de 156 unidades por ano.

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