Para estimar o tempo médio que funcionários levam para executar uma tarefa em certa empresa, um pesquisador escolheu uma amostra aleatória de 25 indivíduos, obtendo uma média de 400 e variância de 49, em segundos. Suponha que a execução de tarefas na população seja distribuída normalmente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente quer estimar o tempo médio que os funcionários levam para fazer uma tarefa numa empresa. Para isso, o pesquisador pegou uma amostra aleatória de 25 pessoas, e dessa amostra, a média de tempo foi de 400 segundos, com uma variância de 49 segundos ao quadrado. Além disso, está dizendo que o tempo de execução das tarefas segue uma distribuição normal na população.
Aqui, a gente vai trabalhar com estatística inferencial, especificamente com a construção de um intervalo de confiança para a média populacional. A gente vai precisar entender como calcular esse intervalo usando a distribuição t de Student, já que estamos lidando com uma amostra pequena (n=25) e não conhecemos o desvio padrão da população, apenas o da amostra.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que acreditamos que contenha o verdadeiro valor da média populacional com um certo nível de confiança, geralmente 95%.
Como temos uma amostra pequena (n < 30) e a população é normalmente distribuída, vamos usar a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Média da amostra ( ) = 400 segundos
  • Variância da amostra ( ) = 49 segundos²
  • Desvio padrão da amostra ( ) = segundos
  • Tamanho da amostra ( ) = 25

Passo 4

O próximo passo é determinar o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado. Vamos supor que queremos um intervalo de confiança de 95%.
Para um intervalo de 95% e graus de liberdade ( ) = n - 1 = 24, o valor crítico da t (t ) pode ser encontrado em tabelas ou usando uma calculadora estatística. Vamos supor que t ≈ 2.064.

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula do intervalo de confiança para a média:
barx pm talpha/2 times ( sraizn )
Onde:
  • é a média da amostra
  • é o valor crítico da t
  • é o desvio padrão da amostra
  • é o tamanho da amostra

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
400 pm 2.064 times ( 7raiz25 )
Primeiro, calculamos o erro padrão:
7raiz25 = 75 = 1.4

Passo 7

Agora, multiplicamos o valor crítico pela erro padrão:
2.064 times 1.4 = 2.8896

Passo 8

Finalmente, calculamos os limites inferior e superior do intervalo de confiança:
400 - 2.8896 = 397.1104
400 + 2.8896 = 402.8896

Resposta

Portanto, com 95% de confiança, podemos afirmar que o tempo médio que os funcionários levam para executar a tarefa está entre aproximadamente 397.11 segundos e 402.89 segundos.

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