Para estimar o tempo médio que funcionários levam para executar uma tarefa em certa empresa, um pesquisador escolheu uma amostra aleatória de 25 indivíduos, obtendo uma média de 400 e variância de 49, em segundos. Suponha que a execução de tarefas na população seja distribuída normalmente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente quer estimar o tempo médio que os funcionários levam para fazer uma tarefa numa empresa. Para isso, o pesquisador pegou uma amostra aleatória de 25 pessoas, e dessa amostra, a média de tempo foi de 400 segundos, com uma variância de 49 segundos ao quadrado. Além disso, está dizendo que o tempo de execução das tarefas segue uma distribuição normal na população.
Aqui, a gente vai trabalhar com estatística inferencial, especificamente com a construção de um intervalo de confiança para a média populacional. A gente vai precisar entender como calcular esse intervalo usando a distribuição t de Student, já que estamos lidando com uma amostra pequena (n=25) e não conhecemos o desvio padrão da população, apenas o da amostra.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que acreditamos que contenha o verdadeiro valor da média populacional com um certo nível de confiança, geralmente 95%.
Como temos uma amostra pequena (n < 30) e a população é normalmente distribuída, vamos usar a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- Média da amostra (
) = 400 segundos - Variância da amostra (
) = 49 segundos² - Desvio padrão da amostra (
) = segundos - Tamanho da amostra (
) = 25
Passo 4
O próximo passo é determinar o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado. Vamos supor que queremos um intervalo de confiança de 95%.
Para um intervalo de 95% e graus de liberdade (
) = n - 1 = 24, o valor crítico da t (t
) pode ser encontrado em tabelas ou usando uma calculadora estatística. Vamos supor que t
≈ 2.064.
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula do intervalo de confiança para a média:
Onde:
-
é a média da amostra -
é o valor crítico da t -
é o desvio padrão da amostra -
é o tamanho da amostra
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos o erro padrão:
Passo 7
Agora, multiplicamos o valor crítico pela erro padrão:
Passo 8
Finalmente, calculamos os limites inferior e superior do intervalo de confiança:
Resposta
Portanto, com 95% de confiança, podemos afirmar que o tempo médio que os funcionários levam para executar a tarefa está entre aproximadamente 397.11 segundos e 402.89 segundos.