Estimate the derivative at the given \boldsymbol{x}-value by using a calculator.
10. f(x)=\sin ^{2}\left(\frac{x}{5}\right) at x=1.8.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a derivada de f(x)=\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{5}\bigr) no ponto x=1,8. O conteúdo envolvido é a derivação de uma função composta (regra da cadeia) e o uso da calculadora para avaliar o resultado numérico.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia: seja u=\tfrac{x}{5}, então f(x)=\sin^{2}(u). A derivada de \sin^{2}(u) em relação a x é
f'(x) =2\,\sin(u)\,\cos(u)\,\frac{du}{dx} =2\,\sin\!\Bigl(\tfrac{x}{5}\Bigr)\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{5}\Bigr)\cdot\frac{1}{5}.

Passo 3

Usando a identidade trigonométrica 2\sin(a)\cos(a)=\sin(2a), obtemos
f'(x) =\frac{1}{5}\,\sin\!\Bigl(\frac{2x}{5}\Bigr).

Passo 4

Substituímos x=1,8 e usamos a calculadora para avaliar:
f'(1,8) =\frac{1}{5}\,\sin\!\Bigl(\frac{2\cdot1,8}{5}\Bigr) =0,2\;\sin\!\bigl(0,72\bigr).
Na calculadora achamos \sin(0,72)\approx0,6594, logo
f'(1,8)\approx0,2\times0,6594=0,13188\approx0,132.

Resposta

f'(1,8)\approx0,132

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