Find the equations of both the normal line and the tangent line.
y=\operatorname{sec} x at x=\pi
Tangent: (
Normal: ",

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva y=\operatorname{sec} x no ponto de abscissa x=\pi. Para isso, vamos calcular o valor da função e de sua derivada em x=\pi e aplicar as fórmulas padrão para reta tangente e reta normal.

Passo 2

Calcular o valor de f(\pi). Como f(x)=\operatorname{sec} x, temos
f(\pi)=\operatorname{sec}(\pi)=-1.

Passo 3

Encontrar a derivada de f(x). Sabemos que
f'(x)=\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x\tan x.
Logo
f'(\pi)=\operatorname{sec}(\pi)\tan(\pi)=(-1)\cdot 0=0.

Passo 4

Montar a equação da reta tangente usando
y - f(\pi) = f'(\pi)\,(x - \pi).
Substituindo f(\pi)=-1 e f'(\pi)=0, obtemos
y - (-1)=0\cdot(x-\pi) \quad\Longrightarrow\quad y+1=0 \quad\Longrightarrow\quad y=-1.

Passo 5

A reta normal tem coeficiente angular igual ao negativo do recíproco de f'(\pi). Como f'(\pi)=0, o recíproco não existe e a reta normal é vertical, com equação
x = \pi.

Resposta

Reta tangente: y=-1
Reta normal: x=\pi

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